F ib

F in

ствием сил

F 2 … F n (рис. 21) со скоростью υ

Модуль которой равен

υ = dS , где S - дуговая координата.

Проекция ускорения на касательную равна a τ =

Учитывая, что скорость υ

Сложная функция времени, т.е. υ = f (S (t )) ,

a τ = d υ

D υ

= υ d υ .

Основное уравнение динамики в проекции на касательную имеет вид

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ .

точки M 1

и M 2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , откуда

mυ 2

= ∑ A i .

mυ 2

Половина произведения массы материальной точки на квадрат скорости

называется кинетической энергией точки.

mυ 2 2

− кинетическая энергия точки после перемещения,

− кинетическая энергия точки до перемещения,

mυ 2

Рассмотрим две произвольные точки твердого тела М 1 и М 2 , являющиеся частью механической системы. Проведем построения (см. рис.14.13).

Внутренние силы P J 1 , P J 2 , действующие со стороны одной точки на другую, на основании закона равенства действия и противодействия равны по модулю и противонапралены P J 1 = - P J 2 .

Пусть в данное мгновение скорости точек равны соответственно u 1 и u 2 и за промежуток времени приращения вдоль векторов составляют ds 1 = u 1 dt , ds 2 = u 2 dt .

Т.к., на основании 1-го следствия теоремы о скоростях точек плоской фигуры проекции векторов скоростей на направление отрезка М 1 М 2 равны, то и проекции элементарных перемещений этих точек будут равны.

Поэтому, вычисляя сумму элементарных работ 2-х внутренних сил на рассматриваемом перемещении и учитывая их равенство и противонаправленность получим

P J 1 ds 1 cos(P J 1 , u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J 2 , u 2)= P J 1 * M 1 M’ 1 - P J 1 *M 2 M’ 2 = 0.

Поскольку каждой внутренней силе соответствует другая, равная по модулю и противонапраленная, то сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю.

Конечное перемещение является совокупностью элементарных перемещений, а поэтому

А j = 0 ,

т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Поступательное движение твердого тела .

При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек тождественны и параллельны. Поэтому векторы элементарных перемещений геометрически равны.

Элементарная работа силы P E i

d A E i = P E i dr.

Для всех сил будет

d A=Sd A E i = S P E i dr= dr S P E = dr R E .

Следовательно,

d A=dr R E . (14-46)

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, равна элементарной работе главного вектора сил .

А= . (14-47)

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота .

Работа на конечном перемещении

SA i = , (14-48)

где - главный момент внешних сил относительно оси вращения.

Если главный момент постоянен, то

SA i = E z = E z (j 2 - j 1). (14-49)

В этом случае сумма работ на конечном перемещении равна произведению главного момента внешних сил на конечное изменение угла поворота тела.

Тогда мощность

N= =M E z dj/dt= M E z w. (14-50)

В общем случае движения элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу, равна

dA= SdA i = R E dr O + M E W da, (14-51)

где M E W - главный момент внешних сил относительно мгновенной оси; da - элементарный угол поворота относительно мгновенной оси.

14.10. Сопротивление при качении .

На цилиндрический каток, находящийся на горизонтальной плоскости в состоянии покоя (рис.14.14,а) действуют две взаимно уравновешивающиеся силы: вес катка G и нормальная реакция плоскости N = -G .

Если под действием горизонтальной силы Р , приложенной в центре катка С, он катится по плоскости без скольжения, то силы G , N образуют пару сил, препятствующую качению (рис. 14.14,б).

Возникновение этой пары сил обусловлено деформацией контактирующих поверхностей катка и плоскости. Линия действия реакции N оказывается сдвинутой на некоторое расстояние d от линии действия силы G.

Момент пары сил G , N называется моментом сопротивления качению. Его величина определяется произведением

М сопр = Nd . (14-52)

Коэффициент качения выражается в линейных единицах, т.е. [d]= см. Например, стальной бандаж по стальному рельсу d = 0,005 см.; дерево по стали d = 0,03- 0,04 см.

Определим наименьшую горизонтальную силу Р , приложенную к центру катка.

Чтобы каток начал катиться, момент пары сил, составленный силой Р и силой сцепления F сц, должен стать больше момента сопротивления, т.е.

PR> Nd .

Откуда P> Nd/R .

Т.к. здесь N=G, то

нальности (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Отсюда видно, что коэффициент инерции объекта зави-

сит от выбора обобщенной координаты и может быть пересчитан.

КЭ нестационарной голономной одностепенной системы имеет струк-

туру квадратного полинома относительно обобщенной скорости q & , коэффи-

циенты которой в общем случае зависят от q и t :

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , при a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

Размерность коэффициентов a , a 0 ,a 1 определяем по принципу Л.Эйлера: все слагаемые в выражениях должны иметь одинаковую размерность.

5.3. Мощность силы

Область пространства, в которой к материальному объекту приложена сила, называется векторным силовым полем . Эта область может быть трехмерной (например-шаровой), либо двумерной, либо представлять отрезок прямой или кривой линии. Обычно считают, что сила зависит только от координат (x , y , z ) точки приложения силы, либо - от одной или двух координат, либо – постоянная по модулю и направлению. Допускаются также случаи, когда силы зависят и от скорости точки и от времени, т.е. сила задана в области пространства координат, скоростей, времени. Встречаются случаи, ко-

Согласно данному определению мощность силы есть положительный скаляр, если угол между силой и скоростью острый (в этом случае сила способствует движению, нарастанию кинетической энергии) и отрицательна, если угол тупой.(когда сила замедляет движение). Мощность силы равна нулю, если сила перпендикулярна к скорости точки приложения силы, или в случае, если точка приложения силы не имеет скорости.

Мощности в двух системах отсчета различны в случае, если системы движутся одна относительно другой, поэтому следует указывать систему отсчета, в которой вычисляется мощность сил.

Мощность сил трения, также как и других диссипативных сил, направленных против движения, отрицательна.

Мощность силы сцепления колеса с дорогой (если нет проскальзывания колеса) равна нулю, поскольку точка приложения силы не имеет скорости.

Рассмотрим случай, когда силы зависят только от положения точки при-

U (x , y , z ) - функция положения точки приложения силы, т.е. – функция декартовых (или обобщенных) координат. В этом случае силу F (x , y , z ) называют потенциальной , а “силовую функцию” U с обратным знаком, называют

потенциальной энергией : П (x , y , z ) = − U (x , y , z ) . Область пространства, в ко-

торой на тело действует потенциальная сила, называется потенциальным силовым полем . Под знаком производной можно добовлять любую константу, поэтому силовая функция и потенциальная энергия определяется с точностью до константы, определяющей уровень отсчета. В общем случае, потенциальную энергию можно определить как функцию П (q 1 ,..., q n ) , получаемую

путем преобразования мощности к виду: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , где q s – обобщен-

ные координаты.

Пусть тело произвольно движется в пространстве, т.е. оно перемещается вместе с полюсом O со скоростью v O и вращается с угловой скоростью ω .

Мощность пары сил, приложенной к твердому телу, не зависит от скорости полюса. Она равна скалярному произведению момента пары сил и угловой скорости.

где M - момент пары сил, ω - угловая скорость твердого тела, которая, как известно, не зависит от выбора полюса. Мощность диссипативных пар сил отрицательна. Мощность пары сил не зависит от места приложения её к телу. Мощность пары сил трения в подшипнике отрицательная, поскольку момент трения и угловая скорость вращения противонаправлены.

Мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна скалярному произведению главного вектора R системы на скорость любого полюса тела, сложенному со скалярным произведением главного момента M 0 сил относительно этого полюса на угловую скорости тела:

5.4. Работа и потенциальная энергия

Элементарной работой силы в выбранной системе координат Oxyz (неподвижной или подвижной) называется бесконечно малая величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы в этой системе:

Здесь через d ΄A обозначена бесконечно малая работа, совершаемая силой за бесконечно малый интервал времени, d r - элементарное перемещение, сонаправленное со скоростью точки. Штрихом отмечено, что d ΄A не всегда является полным дифференциалом от некоторой функции.

Очевидно, что произведение Pdt равно элементарной работе d ΄A :

Мощность, умноженная на малый интервал времени ∆t , есть приближенное значение работы ∆A силы за этот интервал, мощность приближенно равна работе силы за 1 сек. Работой силы за конечный интервал времени называется определенный интеграл от мощности по времени:

Для расчета работы по данной общей формуле необходимо знать мощность как функцию времени или силу и скорость в виде функций только времени t . Но в некоторых частных случаях (случай потенциальной силы, случай постоянной силы трения при неизменном направлении движения) возможно вычисление работы без применения кинематических уравнений движения точки приложения силы, достаточно знать только начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим движение точки приложения силы по отношению к двум системам отсчета, движущимся одна относительно другой. Скорость точки в двух системах различна, поэтому и мощность силы будет различной. Таким образом, понятия мощность, работа, формулируется по отношению к конкретной системе отсчета, преимущественно – по отношению к ИСО или ПСО (инерционной или поступательной системам отсчета).

Определение Сила F называется потенциальной , а ее силовое поле -

потенциальным силовым полем , если выполнены два условия:

1) Сила удовлетворяет одному из следующих условий: сила постоянна по величине и направлению F = const или зависит только от координат точки (всех трех или части) ее приложения, т.е. F = F (x , y , z ).

2) Элементарная работа d ′ A силы есть полный дифференциал от некоторой функции координат, либо мощность силы в любой момент времени равна полной производной по времени от некоторой функции Π (x , y , z )

Функция П(x ,y ,z ), получаемая посредством преобразования выражения элементарной работы, либо из выражения мощности, называется по-

тенциальной энергией потенциального силового поля в точке M(x, y, z).

Тем самым векторному силовому полю силы F (x , y , z ) сопоставляется

математически более простое поле скалярной функции трех переменных П(x , y , z ), либо - функции двух переменных П(x ,y ), либо - функции одной переменной П(x )

Потенциальная энергия может быть представлена не только в декартовой системе координат, но также - в цилиндрической, сферической системах координат, в общем она является функцией некоторых обобщенных коорди-

нат П(q 1 , q 2 , q 3 ).

Поверхности, определенные уравнением П(q 1 , q 2 , q 3 )=C, где C - произвольно назначаемый постоянный параметр, называются эквипотенциальными поверхностями .

Заметим, что под знаком дифференциала всегда можно прибавить или вычесть любую константу, так что функция П в формуле (5.18) определяется с точностью до константы. Константу произвольно назначают, например, полагают равной нулю, выбирая тем самым уровень отсчета семейства эквипотенциальных поверхностей.

Мощность потенциальной силы равна взятой со знаком минус произ-

водной по времени от потенциальной энергии P = −Π & . Подставим это выражение в определенный интеграл (5.17). Получим выражение работы потенциальной силы на конечном перемещении точки приложения силы, осуществленном за конечный промежуток времени:

Таким образом, работа потенциальной силы при ее перемещении за ин-

тервал из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) в точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) по любой траектории равна убыли потенциальной энергии на этом перемещении, т.е. равна разно-

сти потенциальных энергий в первой и второй точках потенциального поля. Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории, соединяющей две точки. В частности, работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории равна нулю, а работа при переходе точки приложения силы с эквипотенциальной поверхности П=С1 на поверхность П=С2 равна разно-

сти констант: А12 =С1 -С2 .

Частный случай В качестве начальной точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) возьмем любую точку M (x , y , z ) потенциального поля, а в качестве M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) возьмем такую точку поля M (x O , y O , z O ), в которой потенциальная энергия принята равной

Получаем следующую физическую интерпретацию. Потенциальная энергия в любой точке M потенциального поля равна работе приложенной силы при перемещении ее точки приложения из положения M по любой гладкой или негладкой траектории в такое положение, в котором потенциальная энергия принята равной нулю, а также равна взятой со знаком минус работе силы на перемещении в положение M (x ,y ,z ) из “нулевого” положения, в котором потенциальная энергия принята равной нулю.

Пример 1 Найдем потенциальную энергию силы тяжести G = − Gk , про-

тивонаправленной с ортом k вертикальной оси Oz системы Oxyz . Методом элементарной работы получаем:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz ) => П = Gz .

Методом мощности получаем

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Таким образом, потенциальная энергия силы тяжести равна произведению веса материальной точки на высоту расположения точки M над плоскостью Oxy , удовлетворяющей условию z = 0. Здесь плоскость Oxy назначена

нулевой эквопотенциальной плоскостью. Потенциальная энергия силы тяжести отрицательна в точках, расположенных под плоскостью Oxy , при z < 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = П1 – П2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh при h = |z 1 –z 2 |.

Эта работа пропорциональна разности (убыли) уровней, она отрицательна, если первый уровень ниже, чем второй.

Замечание . В случае если ось Oz направлена вниз, получаем формулу с обратным знаком: П = –Gz .

Пример 2 . Потенциальная энергии силы упругости пружины. Силовое поле горизонтальной пружины имеет вид горизонтальной оси Ox . Начало оси совместим со свободным концом недеформированной пружины, x - деформация растяжения пружины при x > 0, или сжатия пружины при x < 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

Вообразим, что пружина очень медленно растягивается внешней силой,

медленно нарастающей от нуля до значения F вн = cxi . Считаем, что в каждый момент времени упругая сила пружины уравновешивает внешнию силу.

Среднее значение величины силы F вн на интервале равно: F cр = cx / 2 .

Упругая сила пружины, совершая при этом отрицательную работу по сопротивлению растягиванию, запасает в пружине положительную потенциальную

геоцентрической системе отсчета, γ = 6,672· 10–11 (м3 /(кг· с2 ) - постоянная тя-

готения, r / r = e - орт радиус-вектора тела (материальной точки), проведенного из центра Земли, m 1 = 6· 1024 (кг)- масса Земли, m - масса тела, γm 1 =

3986· 1011 (м3 /с2 ) - геоцентрическая гравитационная постоянная. Учитывая

Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении»

Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи.

Ход работы:

Изучить материал по теме.

Записать краткую теорию.

Решить задачи.

Оформить работу.

Ответить на контрольные вопросы.

Написать вывод.

Краткая теория:

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .

Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:

P = W/t = Tφ/t или P = Tω .

Вариант №1

На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего мо­мента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.

Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2.

Вариант №2

Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 .

Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2.

Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.

• Контакты

 

 

16+