Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:
J = mr 2 (75)
Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:
Рис. 26.
К определению момента инерции точки.
Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.
В результате получается следующее выражение:
Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:
dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:
Размерность момента инерции - кг*м 2 .
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.
Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.
В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :
Момент инерции шара радиуса R :
Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:
Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:
Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).
К расчету момента инерции стержня
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:
Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.
Момент силы F относительно точки O
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение - это мера инертности тела, совершающего вращательные движения.
Момент инерции является скалярной (в общем случае тензорной) физической величиной, которую находят как сумму произведений масс материальных точек () (на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела) на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
Если тело считают непрерывным, то суммирование в выражении (1) заменяется интегрированием, массы элементов тела обозначают как :
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела. Если тело является однородным:
Момент инерции материальной точки
Роль массы при движении по окружности материальной точки выполняет момент инерции (J), который равен:
где r- расстояние от материальной точки до оси вращения. Для материальной точки, которая движется по окружности, момент инерции является постоянной величиной.
Момент инерции является аддитивной величиной. Это означает то, что если в системе не одна, а несколько материальных точек, то момент инерции системы (J) равен сумме моментов инерции () отдельных точек:
Примеры моментов инерции некоторых тел
Момент инерции тонкого стержня вращающегося около оси, проходящей через его один конец и перпендикулярно стержню, равен:
Момент инерции прямого круглого конуса, массы высоты h и радиуса r вращающегося около своей оси:
Момент инерции однородного твердого параллелепипеда, c геометрическими параметрами и массой m вращающегося относительно своей самой длинной диагонали, вычисляют по формуле:
Момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы m, ширины w и длины d, вращающейся относительно оси, которая проходит через точку пересечения диагоналей этого прямоугольника перпендикулярно плоскости пластины:
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Примеры формул для вычисления моментов инерции других тел можно посмотреть в разделе . В этом же разделе можно ознакомиться с теоремой Штейнера.
Примеры решения задач по теме «Момент инерции»
ПРИМЕР 1
| Задание | Два малых шарика массой m каждый соединены тонким невесомым стержнем, длина которого равна Каким будет момент инерции системы относительно оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс сиcтемы?
|
| Решение | Для решения задачи используем формулу для момента инерции одной материальной точки:
где расстояние от точки до оси вращения равно . Следовательно, формула (1.1) преобразуется к виду:
Так как массы первой и второй материальных точек равны, равны расстояния от каждой из них до оси вращения, то: Момент инерции является аддитивной величиной, значит, момент инерции двух точек найдем как сумму и :
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции системы, которая изображена на рис.2 и состоит из двух тонких стержней с массами m. Угол между стержнями прямой. Длины стержней равны l. Ось вращения параллельна одному из стержней (рис.2).
|
| Решение | Момент инерции системы можно найти как сумму моментов инерции каждого стержня относительно оси вращения:
Момент инерции () для горизонтального стержня равен: |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.
Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек () на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.
Для однородного тела выражение (2) можно представить как:
Момент инерции в международной системе единиц измеряется в:
Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.
В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.
Теорема Штейнера
Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:
где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m - масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:
Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела
При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:
где m - масса точки; r - расстояние от точки до оси вращения.
Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:
Тонкое кольцо, с массой вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:
где R - радиус кольца.
Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:
Для однородного шара
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:
где - координаты бесконечно малого элемента тела.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m. |
| Решение | Найдем момент инерции одного шарика () относительно оси, находящейся от него на расстоянии :
Момент инерции второго шарика будет равен : Суммарный момент инерции системы равен сумме:
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции физического маятника относительно оси, которая проходит через точку O (рис.1)? Ось перепендикулярна плоскости рисунка. Считайте, что физический маятник состоит из тонкого стержня длины l, имеющего массу m и диска массы . Диск прикреплен к нижнему концу стержня и имеет радиус равный |
| Решение | Момент инерции нашего маятника (J) будет равен сумме момента инерции стержня (), вращающегося относительно оси, проходящей через точку О и диска (), вращающегося вокруг той же оси: |
Системы на квадраты их расстояний до оси:
- m i - масса i -й точки,
- r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
|---|---|---|---|
 |
Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | |
 |
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | ||
 |
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | |
 |
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | |
 |
Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | |
| Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | ||
| Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | ||
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | ||
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции - геометрическая характеристика сечения вида
где - расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Единица измерения СИ - м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.| Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
|---|---|
| Прямоугольника высотой и шириной : | |
| Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно | |
| Круга диаметром | |
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
(1),где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где -
Момент инерции - скалярная (в общем случае - тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Единица измерения СИ: кг·м².
Обозначение: I или J .
2. Физический смысл момента инерции. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу. Сравните. Вращательное движение. Поступательное движение. Момент инерции представляет собой меру инерции тела во вращательном движении
Например, момент инерции диска относительно оси О" в соответствии с теоремой Штейнера:
Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
18. Момент импульса твердого тела. Вектор угловой скорости и вектор момента импульса. Гироскопический эффект. Угловая скорость прецессии
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим .
Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса) : . Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:.
угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, и направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки . Исторически сложилось 2 , что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен. Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») − если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.
Вращающееся тело (колесо мотоцикла) стремиться сохранять положение оси вращения в пространстве неизменным.(гироскопический эффект) Поэтому возможно движение на 2-х колёсах, но не возможно стояние на двух колёсах Этот эфект используется в корабельных и танковых системах наведения орудий. (корабль качается на волнах, а орудие смотрит в одну точку) В навигации и др.
Наблюдать прецессию достаточно просто. Нужно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.
Главное свойство прецессии - безынерционность: как только сила, вызывающая прецессию волчка, пропадёт, прецессия прекратится, а волчок займёт неподвижное положение в пространстве. В примере с волчком этого не произойдет, поскольку в нём вызывающая прецессию сила - гравитация Земли - действует постоянно.
19. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бирнулли .
Идеальной жидкостью назвается воображаемая несжимаемая жидкость , в которой отсутствуют вязкость, внутреннее трение и теплопроводность . Так как в ней отсуствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.
вязкая жидкость характеризуется наличием сил трения, которые возникают при ее движении. вязкой наз. жидкость , в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения
Рассматриваемые
в Г. ур-ния относит. равновесия несжимаемой
жидкости в поле сил тяжести (относительно
стенок сосуда, совершающего движение
по нек-рому известному закону, напр.
поступательное или вращательное) дают
возможность решать задачи о форме
свободной поверхности и о плескании
жидкости в движущихся сосудах - в
цистернах для перевозки жидкостей,
топливных баках самолётов и ракет и т.
п., а также в условиях частичной или
полной невесомости на космич. летат.
аппаратах. При определении формы
свободной поверхности жидкости,
заключённой в сосуде, кроме сил
гидростатич. давления, сил
инерции и
силы тяжести необходимо учитывать
поверхностное натяжение жидкости. В
случае вращения сосуда вокруг вертик.
оси с пост. угл. скоростью свободная
поверхность принимает форму параболоида
вращения, а в сосуде, движущемся
параллельно горизонтальной плоскости
поступательно и прямолинейно с пост.
ускорением а
,
свободной поверхностью жидкости является
плоскость, наклонённая к горизонтальной
плоскости под углом 