Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:
К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.
Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.
Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени. Силовое поле. силы которого не зависят от времени, называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i ; Z i = ∂υ/∂z i.
Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.
Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна
где - проекция силы на направление .
Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :
Из двух последних выражений получаем
Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы
получить значение в точке нужно произвести предельный переход:
Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :
Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:
Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:
в математике вектор 
,
где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком
Физическое поле - особая форма материи, связывающая частицы вещества и передающая (с конечной скоростью) воздействие одних тел на другие. Каждому типу взаимодействия в природе соответствует свое поле. Силовым полем называют область пространства, в которой на помещенное туда материальное тело действует сила, зависящая (в общем случае) от координат и от времени. Силовое поле называется стационарным, если действующие в нем силы не зависят от времени. Силовое поле, в любой точке которого сила, действующая на данную материальную точку, имеет одно и то же значение (по модулю и направлению), является однородным.
Можно характеризовать силовое поле силовыми линиями. В этом случае касательные к силовым линиям определяют направление действия силы в этом поле, а густота силовых линий пропорциональна величине силы.
Рис. 1.23.
Центральной называется сила, линяя действия которой во всех положениях проходит через некоторую определенную точку, называемую центром силы (точка О на рис. 1.23).
Поле, в котором действует центральная сила, - центральное силовое поле. Величина силы F(r), действующей на один и тот же материальный объект (материальную точку, тело, электрический заряд и др.) в разных точках такого поля, зависит только от расстояния г до центра сил, т.е.
(- единичный вектор в направлении вектора г ). Все силовые
Рис. 1.24. Схематическое представление на плоскости хОу однородного поля
линии такого поля проходят через одну точку (полюс) О; момент центральной силы в этом случае относительно полюса тождественно равен нулю M 0 (F ) = з 0. К центральным относятся гравитационные и кулоновские поля (и силы соответственно).
На рисунке 1.24 приведен пример однородного силового поля (его плоская проекция): в каждой точке такого поля действующая на одно и то же тело сила одинакова по величине и направлению, т.е.
Рис. 1.25. Схематическое представление на хОу неоднородного поля
На рисунке 1.25 приведен пример неоднородного поля, в котором F (х ,
у, z
) *?
const и
и не равны нулю 1 . Густота силовых линий в различных областях такого поля не одинакова - в области справа поле более сильное.
Все силы в механике можно разбить на две группы: консервативные силы (действующие в потенциальных полях) и неконсервативные (или диссипативные). Силы называются консервативными (или потенциальными), если работа этих сил не зависит ни от формы траектории тела, на которое они действуют, ни от длины пути в области их действия, а определяется только начальным и конечным положением точек перемещения в пространстве. Поле консервативных сил называется потенциальным (или консервативным) полем.
Покажем, что работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. Для этого разобьем замкнутую траекторию произвольно на два участка а2 и Ь2 (рис. 1.25). Так как силы консервативны, то Л 1а2 = А т. С другой стороны А 1Ь2 = -А ш. Тогда А иш = А 1а2 + А ш = = А а2 - А Ь2 = 0, что и требовалось доказать. Справедливо и обратное
Рис. 1.26.
утверждение: если работа сил по произ-воль- ному замкнутому контуру ф равна нулю, то силы консервативны, а поле потенциально. Это условие записывается в виде контурного интеграла
Рис. 1.27.
что означает: в потенциальном поле циркуляция вектора F по любому замкнутому контуру L равна нулю.
Работа неконсервативных сил в общем случае зависит как от формы траектории, так и длины пути. Примером неконсервативных сил могут служить силы трения и сопротивления.
Покажем, что все центральные силы относятся к категории консервативных сил. Действительно (рис. 1.27), если сила F центральная, то ее можно пред-
1 Представленное на рис. 1.23 центральное силовое поле также является неоднородным полем.
ставить в виде В этом случае элементарная работа силы F
на элементарном перемещении d/ будет
или
dA = F(r)dlcos а = F(r) dr (так как rdl = rdl cos a, a d/ cos а = dr). Тогда работа
где /(г) - первообразная функция.
Из полученного выражения видно, что работа Ап центральной силы F зависит только от вида функции F(r) и расстояний г { и г 2 точек 1 и 2 от силового центра О и не зависит от длины пути от 1 к 2, что и отражает консервативный характер центральных сил.
Приведенное доказательство является общим для любых центральных сил и полей, следовательно, охватывает упомянутые выше силы - гравитационные и кулоновские.
СИЛОВОЕ ПОЛЕ - часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке к-рой на помещённую туда материальную частицу действует определённая по численной величине и направлению сила, зависящая только от координат х, у, z этой точки. Такое С. п. наз. стационарным; если сила поля зависит и от времени, то С. п. наз. нестационарным; если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, С. п. наз. однородным.
Стационарное С. п. может быть задано ур-ниями
где F x , F y , F z - проекции силы поля F.
Если существует такая ф-ция U(x, у
, z), называемая силовой ф-цией,
что элементарная работа сил поля равна полному дифференциалу этой ф-ции,
то С. п. наз. потенциальным. В этом случае С. п. задаётся одной ф-цией
U(x,
у, z
), а сила F может быть определена через эту ф-цию равенствами:
или
. Условие
существования силовой ф-ции для данного С. п. состоит в том, что
или . При перемещении в потенциальном С. п. из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 )в точку М 2 (х 2 , у 2 , z 2) работа сил поля определяется равенством и не зависит от вида траектории, по к-рои перемещается точка приложения силы.
Поверхности U(x, у , z) = const, на к-рых ф-ция сохраняет пост. значение, наз. поверхностями уровня. Сила в каждой точке поля направлена по нормали к проходящей через эту точку поверхности уровня; при перемещении вдоль поверхности уровня работа сил поля равна нулю.
Примеры потенциального С. п.: однородное поле тяжести, для к-рого U
= -mgz
, где т
- масса движущейся в поле частицы, g
- ускорение
силы тяжести (ось z
направлена вертикально вверх); ньютоново поле
тяготения, для к-рого U = km/r
, где r =
- расстояние от центра притяжения, k - постоянный для данного поля коэффициент.
Вместо силовой ф-ции в качестве характеристики потенциального С. п. можно
ввести потенциальную энергию
П, связанную с U
зависимостью
П(х,
у, z
)= = -U(x, у
, z). Изучение движения частицы в потенциальном
С. п. (при отсутствии других сил) существенно упрощается, т. к. в этом
случае имеет место закон сохранения механич. энергии, позволяющий установить
прямую зависимость между скоростью частицы и её положением в С. п. с.
м. Тарг
. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ
- семейство кривых, характеризующих пространственное
распределение векторного поля сил; направление вектора поля в каждой точке
совпадает с касательной к С. л. Т. о., ур-ния С. л. произвольного векторного
поля А (х, у
, z) записываются в виде:
Плотность С. л. характеризует интенсивность (величину) силового поля. Область пространства, ограниченная С. л., пересекающими к--л. замкнутую кривую, наз. силовой трубкой. С. л. вихревого поля замкнуты. С. л. потенциального поля начинаются на источниках поля и заканчиваются на его стоках (источниках отрицат. знака).
Понятие С. л. введено М. Фарадеем при исследовании магнетизма, а затем получило дальнейшее развитие в работах Дж. К. Максвелла по электромагнетизму. Согласно представлениям Фарадея и Максвелла, в пространстве, пронизываемом С. л. электрич. и магн. полей, существуют механич. напряжения, соответствующие натяжению вдоль С. л. и давлению поперёк них. Математически эта концепция выражена в Максвелла тензоре натяжений эл--магн. поля.
Наряду с использованием понятия С. л. чаще говорят просто о линиях поля: напряжённости электрич. поля Е , индукции магн. поля В и т. п., не делая спец. акцента на отношение этих нолей к силам.
силовое поле
часть пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует определенная по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае силовое поле называют стационарным, а во втором - нестационарным.
Силовое поле
часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая или только от координат x, у, z этой точки, или же от координат x, у, г и времени t. В первом случае С. п. называется стационарным, а во втором ≈ нестационарным. Если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, то С. п. называется однородным. С. п., в котором работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём материальную частицу, зависит только от начального и конечного положения частицы и не зависит от вида её траектории, называется потенциальным. Эту работу можно выразить через потенциальную энергию частицы П (х, у, z) равенством А = П (x1, y1, z
- стационарные силовые поля , величина и направление которых могут зависеть исключительно от точки пространства (координат x, у, z), и
- нестационарные силовые поля , зависящие также от момента времени t.
однородное силовое поле , для которого сила, действующая на пробную частицу, одинакова во всех точках пространства и
- неоднородное силовое поле , не обладающее таким свойством.
- Силовое поле - векторное поле сил в физике;
- Силовое поле - некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений.
≈ П (x2, y2, z
Где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 ≈ координаты начального и конечного положений частицы соответственно. При движении частицы в потенциальном С. п. под действием только сил поля имеет место закон сохранения механической энергии, позволяющий установить зависимость между скоростью частицы и сё положением в С. п.
Примеры потенциального С. п.: однородное поле силы тяжести, для которого П = mgz, где т ≈ масса частицы, g ≈ ускорение силы тяжести (ось z направлена вертикально вверх); ньютоново поле тяготения, для которого П = ≈ fm/r, где r ≈ расстояние частицы от центра притяжения, f ≈ постоянный для данного поля коэффициент.
Технически различают:
Наиболее простым для исследования является стационарное однородное силовое поле, но оно же представляет собой и наименее общий случай.
Силовое поле
Силовое поле - многозначный термин, употребляемый в следующих значениях:
Силовое поле (фантастика)
Силовое поле или силовой щит или защитный щит - широко распространенный термин в фантастической и научно-фантастической литературе, а также в литературе жанра фэнтэзи, который обозначает некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений. Эта идея может базироваться на концепции векторного поля. В физике этот термин также имеет несколько специфических значений (см. Силовое поле).
Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Например, взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и телом, поднятым над ее поверхностью, взаимодействие между наэлектризованными телами. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, Земля создает гравитационное поле. В нем на каждое тело массы m в каждой точке вблизи поверхности Земли действует сила - mg.
Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положением частицы, называются консервативными .
Покажем, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.
Рассмотрим произвольный замкнутый путь. Разобьем его произвольно выбранными точками 1 и 2 на два участка: I и II. Работа на замкнутом пути равна:
|
(18 .1 ) |
Рис.18.1. Работа консервативных сил на замкнутом пути
Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений dr на (-dr), из-за чего изменяет знак на обратный. Тогда:
|
|
(18 .2 ) |
Теперь, подставив (18.2.) в (18.1.) , получаем, что А=0, т.е. вышеприведенное утверждение нами доказано. Другое определение консервативных сил можно сформулировать так: консервативные силы, это силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.
Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными . К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления.
Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, то поле называется однородным.
Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным . В случае однородного стационарного поля: F=const.
Утверждение: силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны.
Докажем это утверждение. Так как поле однородно и стационарно, то F=const. Возьмем в этом поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.18.2.) и рассчитаем работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из точки 1 в точку 2.
18.2. Работа сил в однородном стационарном поле на пути от точки 1 к точке 2
Работа сил, действующих на частицу в однородном стационарном поле, равна:
где r F - проекция вектора перемещения r 12 на направление действия силы, r F определяется только положениями точек 1 и 2, и не зависит от формы траектории. Тогда, работа силы в этом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек перемещения, т.е. силы однородного стационарного поля консервативны.
Вблизи поверхности Земли поле силы тяжести является однородным стационарным полем и работа силы mg равна:
|
|
(18 .4 ) |
где (h 1 -h 2) - проекция перемещения r 12 на направление силы, сила mg направлена вертикально вниз, сила тяжести консервативна.
Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами, и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называются центральными. Примерами центральных сил являются: кулоновские, гравитационные, упругие.