Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях. Пусть случайная величина - число появлений некоторого события в независимых испытаниях, вероятность появления в отдельном испытании равна . Данная случайная величина является дискретной случайной величиной, ее возможные значения . Вероятность того, что случайная величина примет значение вычисляется по формуле Бернулли: .
Определение 15. Закон распределения дискретной случайной величины называется биномиальным законом распределения, если вероятности значений случайной величины вычисляются по формуле Бернулли. Ряд распределения будет иметь вид:
Убедимся, что сумма вероятностей различных значений случайной величины равна 1. Действительно,
Так как при данных вычислениях получилась биномиальная формула Ньютона, поэтому закон распределения называется биномиальным. Если случайная величина имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики находятся по формулам:
(42)
(43)
Пример 15. Имеется партия из 50 деталей. Вероятность брака для одной детали . Пусть случайная величина - число бракованных деталей в данной партии. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины. Решение. Случайная величина имеет биномиальное распределение, так как вероятность того, что она примет значение вычисляется по формуле Бернулли. Тогда ее математическое ожидание находится по формуле (41), а именно, ; дисперсию находим по формуле (42): . Тогда среднее квадратичное отклонение будет равно . Вопрос. Приобретено 200 лотерейных билетов, вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Тогда среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, равно: а) 10; б) 2; в) 20; г) 1.
Закон распределения Пуассона
При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами, которые подчиняются закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время ; число отказов сложной аппаратуры за время , если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на единицу времени приходится отказов.Ряд распределения будет иметь вид:
То есть вероятность того, что случайная величина примет значение вычисляется по формуле Пуассона: поэтому данный закон и называется законом распределения Пуассона. Случайная величина, распределенной по закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики:
Распределение Пуассона зависит от одного параметра , который является математическим ожиданием случайной величины. На рисунке 14 показан общий вид многоугольника распределения Пуассона при различных значениях параметра .
Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение, при этом число испытаний велико, а вероятность появления события в отдельном испытании мала, поэтому закон распределения Пуассона называют законом редких событий. А еще, если математическое ожидание мало отличается от дисперсии, то есть когда . В связи с этим распределение Пуассона имеет большое количество различных приложений. Пример 16. Завод отправляет на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти математическое ожидание числа поврежденных при перевозке деталей. Решение. Случайная величина имеет распределение Пуассона, поэтому . Вопрос. Вероятность искажения символа при передаче сообщения равна 0,004. Чтобы среднее число искаженных символов было равно 4, надо передать 100 символов.
Мы уже знаем (см. п. 4.1.3), что для полного описания механизма исследуемого случайного эксперимента, т. е. для полного описания вероятностного пространства (или, что то же, для исчерпывающего задания интересующей нас случайной величины), недостаточно задать лишь пространство элементарных событий (и тем самым описать множество теоретически возможных значений анализируемой случайной величины). К этому необходимо добавить также: в дискретном случае - правило сопоставления с каждым возможным значением случайной величины вероятности его появления в непрерывном случае - правило сопоставления с каждой измеримой областью возможных значений случайной величины вероятности события, заключающегося в том, что в случайном эксперименте реализуется одно из возможных значений, принадлежащих заданной области АХ. Это правило, позволяющее устанавливать соответствия вида:
принято называть законом распределения вероятностей исследуемой случайной величины .
Прозрачное пояснение такой терминологии мы получаем в рамках дискретного вероятностного пространства, поскольку в этом случае речь идет о правиле распределения суммарной единичной вероятности (т. е. вероятности достоверного события) между отдельными возможностями
Очевидно, задание закона распределения вероятностей, т. е. соответствий типа (5.2), может осуществляться с помощью таблиц и графиков (только в дискретном случае), а также с помощью функций и алгоритмически (об основных формах задания законов распределения и примерах их модельной, т. е. аналитической, записи см. гл. 6).
Приведем примеры табличного и графического задания законов распределения вероятностей.
Тщательный статистический анализ засоренности партий дефектными изделиями (пример 4.5) позволил построить следующее распределение вероятностей для случайной величины выражающей число дефектных изделий, обнаруженных при контроле партии, состоящей из N=30 изделий, случайно отобранных из продукции массового производства (табл. 5.2):
Таблица 5.2
Значения вероятностей, приведенные в табл. 5.2, даны с точностью до третьего десятичного знака, поэтому то, что суммирование представленных в таблице вероятностей дает 0,998 (вместо единицы), легко объяснимо: недостающие 0,002 как-то «размазаны» между возможными значениями 11, ..., 30, но на каждое отдельное возможное значение приходится вероятность, меньшая 0,0005.
Тот же закон распределения может быть представлен графически (рис. 5.2).
Геометрическое изображение закона распределения вероятностей дискретной случайной величины часто называют полигоном распределения или полигоном частот.
В качестве другого примера рассмотрим фрагмент табл. 5.1, выбрав из одиннадцати представленных в ней компонент только две: качество жилищных условий и среднедушевой доход Еще более упростим рассматриваемую схему, перейдя от по существу непрерывной случайной величины к ее дискретному аналогу отказываясь от точного знания среднедушевого дохода каждой семьи и ограничиваясь лишь тремя возможными градациями: семья имеет низкий доход (градация ), средний доход (градация ) и высокий доход (градация ). С учетом четырех градаций качества жилищных условий: - качество низкое - качество удовлетворительное; - качество хорошее и - качество очень хорошее, и проведенного вероятностно-статистического анализа получаем следующий закон распределения вероятностей двумерной случайной величины (данные условные):
Таблица 5.3
Соответствующий двумерный полигон распределения представлен на рис. 5.3.
Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины называют многомерным или совместным. Если каждая из компонент ( см. (5.1)) анализируемого многомерного признака дискретна и имеет конечное число всех возможных значений, то, очевидно, общее число возможных «значений» случайного вектора будет .
Рис. 5.2. Графическое задание закона распределения вероятностей для числа дефектных изделий, обнаруженных в наугад извлеченной партии, состоящей из 30 изделий массового производства
Рис. 5.3. Полигон двумерного распределения семей по качеству жилищных условий и по уровню дохода
В этом случае вместо общей индексации всех возможных многомерных значений удобнее пользоваться -мерной индексацией вида , где первый индекс i определяет номер возможного значения по первой компоненте, второй индекс j - по второй компоненте и т. д. Тогда будет означать возможное значение , полученное сочетанием возможного значения компоненты возможного значения компоненты возможного значения компоненты а вероятности удобно обозначать . Таким образом, в табл. 5.3 представлены вероятности
При анализе многомерных (совместных) распределений часто бывает необходимо получить закон распределения лишь для какой-то части компонент анализируемого векторного признака. Так, многомерная случайная величина , рассмотренная в табл. 5.1, естественно разбивается на два подвектора: описывающий социальнодемографические и экономическую характеристики семьи, и описывающий структуру семейного потребления.
Частный (маржинальный) закон распределения
подвектора анализируемой многомерной случайной величины описывает распределение вероятностей признака в ситуации, когда на значения другой части компонент не накладывается никаких условий. В дискретном случае соответствующие вероятности определяются по формулам:
Переменная величина называется случайной , если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение х i или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.
Случайная величина Х называется дискретной , если существует такая неотрицательная функция
которая ставит в соответствие значению х
i
переменной Х
вероятность р
i
, с которой она принимает это значение.
Случайная величина Х называется непрерывной , если для любых a < b существует такая неотрицательная функция f (x ), что
(2)
Функция f
(x
) называется плотностью распределения
непрерывной случайной величины.
Вероятность того, что случайная величина Х (дискретная или непрерывная) принимает значение, меньшее х , называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F (x ) :
(3)
Функция распределения является универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины.
Общие свойства функции распределения:
(4)
Кроме этого универсального, существуют также частные виды законов распределения: ряд распределения
(только для дискретных случайных величин) и плотность распределения
(только для непрерывных случайных величин).
Основные свойства плотности распределения:
(5)
Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний. Повторяя испытания, будем каждый раз регистрировать, произошло ли интересующее нас случайное событие А , или нет. Относительной частотой (или просто частотой ) случайного события А называется отношение числа n A появлений этого события к общему числу n проведенных испытаний. При этом мы принимаем, что относительные частоты случайных событий близки к их вероятностям. Это тем более верно, чем больше число проведенных опытов. При этом частоты, как и вероятности, следует относить не к отдельным значениям случайной величины, а к интервалам. Это значит, что весь диапазон возможных значений случайной величины Х надо разбить на интервалы. Проводя серии испытаний, дающих эмпирические значения величины Х , надо фиксировать числа n x попаданий результатов в каждый интервал. При большом числе испытаний n отношение nx / n (частоты попадания в интервалы) должны быть близки к вероятностям попадания в эти интервалы. Зависимость частот nx / n от интервалов определяет эмпирическое распределение вероятностей случайной величины Х , графическое представление которой называется гистограммой (рис. 1).
Рис. 1. Гистограмма и выравнивающая плотность распределения
Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают интервалы равной длины, на которые разбивается весь диапазон возможных значений случайной величины Х
, а по оси ординат откладывают частоты nx
/ n
. Тогда высота каждого столбика гистограммы равна соответствующей частоте. Таким образом, получается приближенное представление закона распределения вероятностей для случайной величины Х
в виде ступенчатой функции, аппроксимация (выравнивание) которой некоторой кривой f
(x
) даст плотность распределения.
Однако, часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные свойства распределения. Эти числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
Введение
Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.
Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.
1. Случайные величины
Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.
Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.
Случайные величины можно разделить на две категории.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.
Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина
могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому и ( < ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .Таким образом
(1)Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины
. Если , то не принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей . Согласно формуле (1), в которой принимаем , имеем , то при получаемНаконец, если
, то , так как значения лежит на сегменте и, следовательно, не превосходят b . Итак, приходим к следующей функции распределения:График функции
представлен на рис. 1.Плотность распределения вероятностей найдем по формуле. Если
или , то . Если , тоТаким образом,
(2)График функции
изображен на рис. 2. Заметим, что в точках a и b функция терпит разрыв.Величина, плотность распределения которой задана формулой (2), называется равномерно распределенной случайной величиной.
3. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение в теории вероятностей - распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p .
- конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то естьПостроим случайную величину Y .
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Сначала рассмотрим некоторые законы распределения дис- кретных случайных величин.
4.1 Биномиальное распределение .
Пусть
случайная величина
- это число появлений неко -торого
события
в серии из
независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность появления события
,
а вероятность не появления события
Ряд распределения такой величины
имеет вид:
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где
.
Такой ряд распределения называетсябиномиальным
.
Математическое ожидание случайной
величины
в этом случае имеет вид:
(1)
Для
вычисления этого выражения,
продифференцировав по
следующее выражение:
получим
Если
мы умножим это равенство на
,
получим
(2)
Но
а правые части равенств (1) и (2)
совпадают, тогда
Продифференцировав то же самое выражение дважды, получим
Умножив
полученное равенство на
,
получим:
Таким образом,
Отсюда Тода
Итак, для биномиального распределения:
Пример.
Произведено 20 независимых выстрелов
по мише- ни. Вероятность попадания
при каждом выстреле
.
Найти математическое ожидание,
дисперсию и среднее квад -ратическое
ожидание числа попаданий.
Случайная
величина
-
число попаданий, распределена по
биномиальному закону.Тогда
4.2 Распределение Пуассона.
Определение.
Дискретная случайная величина
имеет
закон распределения Пуассона , если она задаётся рядом рас- пределения
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
в котором вероятности определяются по формуле Пуассона
(3)
где
(
- среднее число появлений события в
серии испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события
постоянная величина
).
Приведём без доказательства следующую теорему.
ТЕОРЕМА
.
Математическое ожидание и дисперсия
случай -ной величины, распределённой
по закону Пуассона, совпадают и равны
параметру
этого закона, т.е.
При
достаточно больших
(вообще при
)
и малых значениях
при условии, что произведение
- постоянная величина (
),
закон распределения Пуассона является
хорошим приближением биномиального
за –кона, т.е. распределение Пуассона
- это асимптотическое рас -пространение
биномиального закона. Иногда этот
закон назы -ваютзаконом
редких явлений.
По закону Пуассона распреде- лены,
например, число сбоев автоматической
линии, число от- казов системы в
«нормальном режиме», число сбоев в
работе АТС и т.п.
4.3 Геометрическое распределение.
Определение.
Дискретная
случайная величина
име- етгеометрическое
распределение
,
если
, где для некоторого события,
и
её ряд распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумма
ТЕОРЕМА
.
В случае случайной величины, имеющей
геомет- рическое распределение с
параметром
,
математическое ожидание и дисперсия
вычисляются по формулам:
Пример.
Производятся выстрелы по мишени до
первого попа- дания. Вероятность
попадания при каждом выстреле
.
Составить
ряд распределения случайной величины
- «чис- ло попаданий». Найти её
математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение.
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме,
среднее
квадратическое отклонение
Гипергеометрическое распределение .
Пусть
в партии из
изделий имеется
стандартных. Случайным образом
отбирают
изделий. Пусть случайная величина
- число стандартных изделий среди
отобранных. Очевидно, озможные значения
этой случайной величины:
Вероятности возможных значений вычисляются по формуле:
Для
этой случайной величине математическое
ожидание вы- числяется по формуле
а дисперсия:
Пример.
В урне находится 5 белых и 3 чёрных
шара. Слу- чайным образом отобраны 3
шара. Составить ряд распределе- ния
случайной величины
- числа белых шаров среди ото –бранных.
Найти её математическое ожидание и
дисперсию.
Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. найдём их вероятности:
Получаем ряд распределения:
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
Математическое
ожидание можно вычислить непосредственно,
пользуясь известными формулами, а
можно воспользоваться формулами из
теоремы. В нашем примере
.
Тогда
Теперь рассмотрим основные законы распределения непре- рывных случайных величин.
4.5 Равномерное распределение.
Определение.
Непрерывная случайная величина имеет
рав -номерное распределение на отрезке
,
если она имеет постоянное значение
на этом отрезке и равна нулю вне
этого отрезка, т.е. график её плотности
имеет вид:
Так
как площадь под графиком плотности
распределения должна быть равна
единице, то
Тогда
Её функция распределения имеет вид:
и её график
4.6 Показательное распределение .
В практических приложениях теории вероятностей (напри-
мер, в сфере массового обслуживания, исследовании опера -ций, теории надёжности, в физике, биологии и т.п.) часто при- ходится иметь дело со случайными величинами, имеющими так называемое экспоненциальное, или показательное распре- деление.
Определение.
Непрерывная случайная ыеличина
рас- пределена попоказательному
закону
, если её плотность распределения
вероятностей имеет вид:
График этой функции:
0
Её функция распределения:
имеет
график
О
Математическое ожидание:
Пример.
Пусть случайная величина
- время работы не- которого механизма,
имеет показательное распределение.
Оп- ределить вероятность того, что
механизм будет работать не менее
1000 часов, если среднее время его
работы составляет 800 часов.
По
условию задачи, математическое ожидание
работы меха- низма
,
а
.
Тогда
Следовательно,
Искомая вероятность:
Замечание.
Показательное распределение относится
к
од -нопараметрическим
законам распределения (зависит только
от
).
4.7 Нормальное распределение.
Определение. Нормальным называют распределение вероят- ностей непрерывной случайной величины, которое имеет плот- ность распределения вероятностей, определяемую формулой:
(1)
Видим,
что
нормальное распределение определяется
двумя параметрами
:
и
.
Чтобы задать нормальное распре
-деление, достаточно задать эти два
параметра.
Нормальный
закон распределения очень широко
распро- странён в задачах практики.
Он проявляется в тех случаях, когда
случайная величина
является результатом действи- ем
большого числа различных факторов.
Каждый фактор в отдельности влияет
на случайную величину незначительно
и нельзя сказать, какой из них влияет
в большей степени, чем остальные.
Примерами случайных величин, имеющих
нормаль- ное распределение, можно
считать: отклонение размеров дета-
лей, изготовленных станком, от
стандартных; ошибки при из -мерении;
отклонения при стрельбе по мишени и
т.п.
Основной
закономерностью, выделяющей нормальный
закон из остальных законов, является
та, что он является предель -ным
законом, к которому приближаются
другие законы, т.е. при достаточно
большом значении
сумма независимых слу- чайных величин
,
подчинённых каким угодно законам
распределения, будет иметь распределение,
сколь угодно близкое к нормальному.
Функция распределения нормально распределённой случай –ной величины имеет вид
(2)
По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
Введём новую переменную
Принимая во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
Первой
слагаемое равно нулю, как интеграл
по симметрич -ному промежутку от
нечётной функции. Второе из слагаемых
равно
(интеграл Пуассона
).
Таким
образом, математическое ожидание
нормально рас- пределённой случайной
величины
По
определению дисперсии непрерывной
случайной величи- ны, учитывая, что
,
получим
Снова введём новую переменную
Получим
Применив формулу интегрирования по
частям и предыдущие вычисления,
получа- ем
Тогда
Следовательно, вторым параметром
нормального распределенияявляется
сре- днее квадратическое отклонение.
Замечение.
Нормированным
называют
нормальное распре –деление с
параметрами
Плотность нормиро -ванного распределения
задаётся функцией:
(3)
значения
которой можно либо найти непосредмьвенно,
либо воспользоватся соответствующими
таблицами, которые можно найти во
всех справочниках. Функция нормированного
распре –деления имеет вид
.
Тогда функция общего нормального
распределения, заданная т формулой
(2), выражается формулой
.
Вероятность попа- дания нормированной
нормально распределённой случайной
величины
в интервал
определяется с помощью функции
Лапласа
,
значения которой также приведены в
таблицах. В самом деле,
Учитывая,
что
(по свойству плотности распре-
деления,), в силу симметрии функции
относительно точ- ки
:
Тогда
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса .
Исследуем
функцию:
Она
определена на всей числовой прямой
и положительна для всех
.
При неограниченном возрастании
данная функция стремится к нулю,
т.е.
Производная этой функции
.
Производная
равна 0 в точке
и меняет в этой точке знак с «+» на
«-», т.е.
- точка максимума и в этой точке
.
Найдя вторую производную функции,
можем выяснить, что график функции
имеет перегибы в точ- ках
.
Схематически график выглядит следующим
образом:
0
Для
нормально распределенной случайной
величины ве- роятность попадания в
заданный интервал
вычисля –ется следующим образом:
Сделаем
замену
.
где
.
Таким образом,
(4)
Пример.
Масса вагона - случайная величина,
распределён -ная по нормальному закону
с математическим ожиданием 65 т. и
средним квадратическим отклонением
т.
Найти веро- ятность того, что очередной
вагон имеет массу не более 70 т. и не
менее 60 т
Иногда
требуется вычислить вероятность
того, что случай -ная величина по
модулю отклоняется от среднего
значения меньше чем некоторое значение
,
т.е.
.
Для вычисления этой вероятности
можем воспользоваться предыдущей
формулой. В самом деле:
учитывая
нечётность функции
.
Следовательно,
(5)
Пример.
Вероятность того, что нормально
распределённая случайная с математическим
ожиданием
откло- нится от среднего значения
меньше чем на
равна 0.09. Чему равна вероятность
попадания этой случайной величины в
интервал (30, 35) ?
По
условию,
Тогда
По таблице значений функции Лапласа,
по – лучаем:
Тогда требуемая вероятность, по
формуле (4),
Правило трёх сигм.
В
формуле (5) положим
,
получим
Если
и, следовательно,
,
получаем:
т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине случайной величины от среднего значения меньше утроенного среднего квадратического отклонения равна 0,9973, т.е. очень близка к единице.
Правило трёх сигм состоит в том, что для нормально рас- пределённой случайной величины абсолютная величина её -отклонения от среднего не превосходит утроенного сред -него квадратического отклонения. На практике это правило применяется слудующим образом: Если распределение слу -чайной величины неизвестно, но для её параметров выпол -няется правило трёх сигм, то есть основание предположить, что она распределена по нормальному закону.