F ib

F în

vigoare

F 2 ... F n (Fig. 21) cu viteza υ

Al cărui modul este egal cu

υ = dS, unde S este coordonata arcului.

Proiecția accelerației pe tangentă este egală cu a τ =

Având în vedere că viteza υ

O funcție complexă a timpului, de ex. υ = f(S(t)),

a τ = d υ

Dυ

= υ d υ .

Ecuația de bază a dinamicii în proiecție pe tangentă are forma

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ .

punctele M 1

și M2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , de unde

mυ 2

= ∑ A i .

mυ 2

Jumătate din produsul dintre masa unui punct material și pătratul vitezei

se numește energia cinetică a unui punct.

mυ 2 2

− energia cinetică a punctului după deplasare,

− energia cinetică a unui punct înainte de deplasare,

mυ 2

Să considerăm două puncte arbitrare ale unui corp rigid M 1 și M 2, care fac parte dintr-un sistem mecanic. Să realizăm construcția (vezi Fig. 14.13).

Forțele interioare PJ 1, PJ 2 , care acționează de la un punct la altul, pe baza legii egalității de acțiune și reacție, sunt egale ca mărime și direcționate opus P J 1 = - P J 2 .

Fie la un moment dat vitezele punctelor să fie egale cu u 1 și, respectiv, u 2, iar pe o perioadă de timp incrementele de-a lungul vectorilor sunt ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Deoarece, pe baza primului corolar al teoremei privind vitezele punctelor unei figuri plane, proiecțiile vectorilor viteză pe direcția segmentului M 1 M 2 sunt egale, atunci proiecțiile deplasărilor elementare ale acestor puncte vor fi egal.

Prin urmare, calculând suma lucrărilor elementare a 2 forțe interne asupra deplasării luate în considerare și ținând cont de egalitatea și direcția opusă a acestora, obținem

P J 1 ds 1 cos(P J1,u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J2,u 2)= P J 1 * M 1 M’ 1 - P J 1 * M 2 M’ 2 = 0.

Întrucât fiecare forță internă îi corespunde alteia, egală ca mărime și direcționată opus, suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor interne este zero.

Mișcarea finală este un set de mișcări elementare și, prin urmare

A j = 0,

aceste. suma muncii efectuate de forțele interne ale unui corp rigid în timpul oricărei mișcări este zero.

Mișcarea de translație a unui corp rigid.

În timpul mișcării de translație a unui corp rigid, traiectoriile tuturor punctelor sale sunt identice și paralele. Prin urmare, vectorii deplasărilor elementare sunt egali geometric.

Munca elementară de forță P E i

d A E i =P E i d r.

Va fi putere pentru toată lumea

d A=Sd A E i = SP E i d r= d r SP E = d r R E .

Prin urmare,

d A=d r R E . (14-46)

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se mișcă translațional este egal cu munca elementară a vectorului forță principal.

A= . (14-47)

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe față de axa de rotație și creșterea unghiului de rotație.

Lucrați la mișcarea finală

SA i = , (14-48)

unde este momentul principal al forțelor externe raportat la axa de rotație.

Dacă momentul principal este constant, atunci

SA i = Ez = Ez (j2-j1).(14-49)

În acest caz, suma muncii asupra deplasării finale este egală cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe și modificarea finală a unghiului de rotație al corpului.

Apoi putere

N= =M E z dj/dt= M E z w.(14-50)

În cazul general al mișcării, lucrul elementar al forțelor exterioare aplicate unui corp rigid liber este egal cu

dA= SdA i =R E d r O + M E W da,(14-51)

Unde M E W- momentul principal al fortelor exterioare fata de axa instantanee; da- unghi elementar de rotaţie faţă de axa instantanee.

14.10. Rezistenta la rulare.

O rolă cilindrică situată pe un plan orizontal în repaus (Fig. 14.14a) este acționată de două forțe de echilibrare reciprocă: greutatea rolei G și reacția plană normală N = -G .

Dacă se află sub influența forței orizontale R, aplicat în centrul rolei C, se rostogolește de-a lungul planului fără alunecare, apoi forța G, N formează câteva forțe care împiedică rostogolirea (Fig. 14.14, b).

Apariția acestei perechi de forțe se datorează deformării suprafețelor de contact ale rolei și planului. Linia de acțiune de reacție N se dovedește a fi deplasat cu o anumită distanță d față de linia de acțiune a forței G.

Moment de câteva forțe G, N numit momentul rezistenţei la rulare. Valoarea acestuia este determinată de produs

M rezist = Nd. (14-52)

Coeficientul de rulare este exprimat în unități liniare, adică [d]= vezi, de exemplu, bandă de oțel pe șină de oțel d= 0,005 cm; lemn pe oțel d= 0,03-0,04 cm.

Să determinăm cea mai mică forță orizontală R , aplicat pe centrul patinoarului.

Pentru ca rola să înceapă să ruleze, momentul cuplului de forțe, compus din forța P și forța de aderență F sc, trebuie să devină mai mare decât momentul de rezistență, adică.

PR>Nd.

Unde P>Nd/R.

Deoarece aici N=G, atunci

naalitate (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Aceasta arată că coeficientul de inerție al obiectului depinde

sita de la alegerea coordonatei generalizate si poate fi recalculata.

FE al unui sistem holonom nestaționar de un grad are o structură

rotunda polinomului pătratic în raport cu viteza generalizată q & , coeficient

ale căror valori depind în general de q și t:

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , cu a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

Dimensiunea coeficienților a , a 0 , a 1 este determinată de principiul lui L. Euler: toți termenii din expresii trebuie să aibă aceeași dimensiune.

5.3. Putere de putere

Se numește regiunea spațiului în care o forță este aplicată unui obiect material câmp de forță vectorială. Această zonă poate fi tridimensională (de exemplu, sferică) sau bidimensională sau poate reprezenta un segment al unei linii drepte sau curbe. De obicei, se crede că forța depinde doar de coordonatele (x, y, z) ale punctului de aplicare al forței, sau de una sau două coordonate, sau este constantă ca mărime și direcție. Sunt permise și cazuri când forțele depind atât de viteza punctului, cât și de timp, adică. forța este specificată în zona spațiului de coordonate, viteze și timp. Sunt cazuri în care

Conform această definiție Puterea forței este un scalar pozitiv dacă unghiul dintre forță și viteză este acut (în acest caz forța favorizează mișcarea, o creștere a energiei cinetice) și negativă dacă unghiul este obtuz (când forța încetinește mișcarea). ). Puterea forței este zero dacă forța este perpendiculară pe viteza punctului de aplicare al forței sau dacă punctul de aplicare al forței nu are viteză.

Puterile din cele două sisteme de referință sunt diferite dacă sistemele se mișcă unul față de celălalt, deci trebuie indicat sistemul de referință în care este calculată puterea forțelor.

Puterea forțelor de frecare, precum și a altor forțe disipative îndreptate împotriva mișcării, este negativă.

Puterea forței de aderență dintre roată și drum (dacă nu există alunecare a roții) este zero, deoarece punctul de aplicare al forței nu are viteză.

Să luăm în considerare cazul când forțele depind numai de poziția punctului de

U (x, y, z) este o funcție a poziției punctului de aplicare a forței, adică. – funcţia coordonatelor carteziene (sau generalizate). În acest caz, forța F (x, y, z) se numește potențial, iar „funcția de forță” U cu semnul opus se numește

energie potenţială: P (x, y, z) = − U (x, y, z) . Regiunea spațiului în care

care acționează o forță potențială asupra unui corp se numește câmp de forță potențial. Sub semnul derivatei, puteți adăuga orice constantă, astfel încât funcția de forță și energia potențială sunt determinate până la o constantă care determină nivelul de referință. În general, energia potenţială poate fi definită ca o funcţie P (q 1,..., q n) obţinută

prin transformarea puterii la forma: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , unde q s este un generalizat

coordonate noi.

Lăsați corpul să se miște în mod arbitrar în spațiu, de exemplu. se deplasează împreună cu polul O cu viteza v O și se rotește cu viteza unghiulară ω.

Puterea unei perechi de forțe aplicate unui corp rigid nu depinde de viteza stâlpului. Este egal cu produsul scalar dintre momentul unei perechi de forțe și viteza unghiulară.

unde M este momentul unei perechi de forțe, ω este viteza unghiulară a unui corp rigid, care, după cum se știe, nu depinde de alegerea polului. Puterea perechilor de forțe disipative este negativă. Puterea unei perechi de forțe nu depinde de locul în care este aplicată corpului. Puterea unei perechi de forțe de frecare în rulment este negativă, deoarece cuplul de frecare și viteza unghiulară de rotație sunt în direcții opuse.

Puterea unui sistem de forțe aplicată unui corp rigid este egală cu produsul scalar al vectorului principal R al sistemului și viteza oricărui pol al corpului, adăugat cu produsul scalar al momentului principal M 0 al forțelor relative. la acest pol și viteza unghiulară a corpului:

5.4. Munca și energia potențială

Lucrul elementar al unei forțe în sistemul de coordonate selectat Oxyz (fix sau în mișcare) este o mărime infinitezimală egală cu produsul scalar al forței și deplasarea elementară a punctului de aplicare a forței în acest sistem:

Aici d ΄A reprezintă munca infinitezimală efectuată de o forță într-un interval de timp infinitezimal, d r este deplasarea elementară co-direcționată cu viteza punctului. Primul indică faptul că d ΄A nu este întotdeauna o diferenţială completă a unei anumite funcţii.

Evident, produsul Pdt este egal cu munca elementară d ΄A:

Puterea înmulțită cu un interval de timp mic ∆t este o valoare aproximativă a muncii ∆A a forței în acest interval, puterea este aproximativ egală cu munca forței în 1 secundă. Lucrul efectuat de o forță într-un interval de timp finit se numește integrală definită de la putere de-a lungul timpului:

Pentru a calcula munca folosind această formulă generală, este necesar să cunoaștem puterea în funcție de timp sau forța și viteza ca funcții numai de timpul t. Dar în unele cazuri speciale (cazul forței potențiale, cazul forței de frecare constantă cu o direcție constantă de mișcare), este posibil să se calculeze lucrul fără a utiliza ecuațiile cinematice ale mișcării punctului de aplicare a forței; este suficient să se cunoască doar poziţia iniţială şi finală a punctului.

Să considerăm mișcarea punctului de aplicare a forței în raport cu două sisteme de referință care se mișcă unul față de celălalt. Viteza punctului în cele două sisteme este diferită, prin urmare puterea forței va fi diferită. Astfel, conceptele de putere și muncă sunt formulate în raport cu un sistem de referință specific, în principal în raport cu ISO sau PSO (sisteme de referință inerțiale sau translaționale).

Definiție Forța F se numește potențial, iar câmpul său de forță este

câmp de forță potențial, dacă sunt îndeplinite două condiții:

1) Forța îndeplinește una dintre următoarele condiții: forța este constantă ca mărime și direcție F = const sau depinde numai de coordonatele punctului (toate trei sau parțial) de aplicare a acesteia, adică. F = F(x, y, z).

2) Lucrul elementar d ′ A al forţei este diferenţial complet dintr-o funcție de coordonate sau puterea forței în orice moment este egală cu derivata în timp totală a unei funcții Π (x, y, z)

Funcția P(x,y,z), obținută prin transformarea expresiei muncii elementare, sau din expresia puterii, se numește

energia potențială a câmpului de forță potențial în punctul M(x, y, z).

Astfel vector câmp de forță forțele F(x, y, z) sunt potrivite

un câmp mai simplu din punct de vedere matematic al unei funcții scalare a trei variabile P(x, y, z), fie o funcție a două variabile P(x,y), fie o funcție a unei variabile P(x)

Energia potențială poate fi reprezentată nu numai în sistemul de coordonate carteziene, ci și în sistemele de coordonate cilindrice, sferice, este o funcție a unor coordonate generalizate;

nat P(q 1, q 2, q 3).

Suprafețele definite de ecuația P(q 1, q 2, q 3) = C, unde C este un parametru constant atribuit arbitrar, sunt numite suprafete echipotentiale.

Rețineți că sub semnul diferențial puteți adăuga sau scădea orice constantă, astfel încât funcția Π din formula (5.18) să fie determinată până la o constantă. Constanta este atribuită în mod arbitrar, de exemplu, setată egală cu zero, alegând astfel nivelul de referință al familiei de suprafețe echipotențiale.

Puterea forței potențiale este egală cu produsul luat cu semnul minus

apa in timp din energia potentiala P = −Π & . Să substituim această expresie în integrala definită (5.17). Să obținem o expresie pentru munca forței potențiale asupra deplasării finale a punctului de aplicare a forței, efectuată pe o perioadă finită de timp:

Astfel, munca unei forțe potențiale atunci când se mișcă în spatele unui in-

intervalul de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) până la punctul M 2 (x 2, y 2, z 2) de-a lungul oricărei traiectorii este egal cu pierderea de energie potențială în timpul acestei mișcări, adică. egal cu diferit

legături ale energiilor potențiale la primul și al doilea punct al câmpului potențial. Munca efectuată de o forță potențială nu depinde de forma traiectoriei care leagă două puncte. În special, lucrul unei forțe potențiale pe orice traiectorie închisă este egal cu zero, iar lucrul când punctul de aplicare al forței trece de la suprafața echipotențială P=C1 la suprafața P=C2 este egal cu

constante sti: A12 = C1 - C2.

Caz special Ca punct inițial M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) luăm orice punct M (x , y , z ) al câmpului potențial și ca M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) avem luați un astfel de câmp punctual M (x O, y O, z O), în care energia potențială este luată egală cu

Obținem următoarea interpretare fizică. Energia potențială în orice punct M al câmpului potențial este egală cu munca forței aplicate atunci când se deplasează punctul său de aplicare din poziția M de-a lungul oricărei traiectorii netede sau nenetede până la o poziție în care energia potențială este luată egală cu zero. , și este, de asemenea, egală cu munca forței luate cu semnul minus asupra deplasării în poziția M (x,y,z) din poziția „zero”, în care energia potențială este luată egală cu zero.

Exemplul 1 Să aflăm energia potențială a gravitației G = − Gk, pro-

îndreptată opus cu unitatea de măsură k a axei verticale Oz a sistemului Oxyz. Folosind metoda elementară obținem:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

Folosind metoda puterii pe care o obținem

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Astfel, energia potențială a gravitației este egală cu produsul dintre greutatea punctului material și înălțimea locației punctului M deasupra planului Oxy, îndeplinind condiția z = 0. Aici i se atribuie planului Oxy.

planul echipotenţial zero. Energia potențială gravitațională este negativă în punctele situate sub planul Oxy, la z< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh la h = |z 1 –z 2 |.

Această muncă este proporțională cu diferența (pierderea) de niveluri este negativă dacă primul nivel este mai mic decât al doilea.

Nota. Dacă axa Oz este îndreptată în jos, obținem o formulă cu semnul opus: P = –Gz.

Exemplul 2. Energia potențială a forței elastice a unui arc. Câmpul de forță al unui arc orizontal are forma unei axe orizontale Ox. Originea axei este compatibilă cu capătul liber al arcului neformat, x este deformarea de tracțiune a arcului la x > 0 sau deformarea de compresie a arcului la x< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

Să ne imaginăm că arcul este întins foarte încet de o forță externă,

crescând încet de la zero la valoarea F in = cxi. Presupunem că în fiecare moment forța elastică a arcului echilibrează forța externă.

Valoarea medie a forței F ext pe interval este egală cu: F cр = cx / 2.

Forța elastică a arcului, în timp ce face o muncă negativă pentru a rezista întinderii, stochează potențialul pozitiv în primăvară

sistem de referință geocentric, γ = 6,672 10–11 (m3 /(kg s2) - gravitație constantă

geteny, r / r = e - ort al vectorului razei corpului (punctul material) desenat din centrul Pământului, m 1 = 6 1024 (kg) - masa Pământului, m - masa corpului, γm 1 =

3986·1011 (m3/s2) - constantă gravitațională geocentrică. Având în vedere

Lucrare practică pe tema: „Munca și puterea în timpul mișcării de rotație”

Scopul lucrării: asiguramaterial de studiu pe această temă, învață să rezolvi probleme.

Progresul lucrării:

Material de studiu pe tema.

Scrieți o scurtă teorie.

Rezolva probleme.

Aplicați pentru muncă.

Răspunde la întrebările de securitate.

Scrieți o concluzie.

Scurtă teorie:

Lucru efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație

Să ne imaginăm un disc care se rotește în jurul unei axe fixe sub influența unei forțe constanteF (Fig. 6) , al cărui punct de aplicare se deplasează cu discul. Să dărâmăm putereaF în trei componente reciproc perpendiculare:F 1 - forta circumferentiala,F 2 - forta axiala,F 3 – forța radială.

La rotirea discului printr-un unghi infinitezimaldφ rezistenţăF va efectua muncă elementară, care, pe baza teoremei muncii rezultate, va fi egală cu suma muncii componentelor.

Este evident că munca componentelorF 2 ŞiF 3 va fi egal cu zero, deoarece vectorii acestor forțe sunt perpendiculari pe deplasarea infinitezimalăds puncte de aplicareM , deci opera elementară a forţeiF egală cu munca componentei saleF 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

Când rotiți discul la unghiul finalφ munca de fortaF egal cu

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

unde este unghiulφ exprimată în radiani.

Din momentele componentelorF 2 ŞiF 3 raportat la axaz sunt egale cu zero, apoi se bazează pe moment de fortaF raportat la axaz egal cu:

M z (F) = F 1 R .

Momentul de forță aplicat discului în raport cu axa de rotație se numește cuplu și, conform standarduluiISO , notat cu literaT :

T = M z (F) , prin urmare,W = Tφ .

Lucrul efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație este egal cu produsul dintre cuplul și deplasarea unghiulară .

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcină: un muncitor rotește cu forță mânerul troliuluiF = 200 N , perpendicular pe raza de rotație.
Găsiți de lucru petrecut în timpt = 25 de secunde , dacă lungimea mâneruluir = 0,4 m , și viteza sa unghiularăω = π/3 rad/s .

Soluţie.
În primul rând, să determinăm deplasarea unghiularăφ manere de troliu pentru25 de secunde :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ .

Puterea forței aplicate unui corp care se rotește uniform este egală cu produsul dintre cuplul și viteza unghiulară .

Dacă munca este efectuată de o forță aplicată unui corp care se rotește uniform, atunci puterea în acest caz poate fi determinată prin formula:

P = W/t = Tφ/t sauP = Tω .

Opțiunea #1

Două bile de plumb de mase 0,5 și 1 kg sunt suspendate pe două corzi de lungime egală egală cu 0,8 m. Bilele sunt în contact unele cu altele. Bila cu masă mai mică a fost mutată în lateral, astfel încât cordonul să fie deviat la un unghi α = 60° și eliberat. La ce înălțime se vor ridica ambele bile după ciocnire? Impactul este considerat central și neelastic. Determinați energia cheltuită pentru deformarea bilelor la impact.

Un volant cu o masă de 4 kg se rotește liber în jurul unei axe orizontale care trece prin centrul său cu o frecvență de 720 rpm. Masa volantului poate fi considerată distribuită de-a lungul jantei sale cu o rază de 40 cm După 30 s, sub influența cuplului de frânare, volantul sa oprit. Găsiți cuplul de frânare și numărul de rotații pe care le face volantul până când se oprește complet.

Un corp de masă m=1,0 kg cade de la o înălțime h=20 m Neglijând rezistența aerului, găsiți puterea medie dezvoltată de gravitație pe traseul h și puterea instantanee la o înălțime h/2.

Opțiunea nr. 2

Volanta se rotește conform legii exprimate prin ecuație, unde A = 2 rad/s, B = 32 rad/s, C = -4 rad/s2. Găsiți puterea medieN, dezvoltat de fortele care actioneaza asupra volantului in timpul rotatiei acestuia, pana la oprire, daca momentul de inertie I = 100 kg m 2 .

Un corp de masă m se rotește la suprafata orizontala de-a lungul unui cerc cu raza r=100mm. Aflați munca efectuată de forța de frecare atunci când corpul se rotește printr-un unghi α=30. Coeficientul de frecare dintre corp și suprafață este k=0,2.

Prima bila cu masa m1 = 2 kg se misca cu viteza v1 = 3 m/s. A doua bila cu masa m2 = 8 kg se misca cu viteza v2 = 1 m/s. Găsiți vitezav 1 prima minge si vitezav 2 a doua minge imediat după impact, dacă: a) bilele se deplasează una spre cealaltă; b) prima minge o ajunge din urmă pe a doua. Impactul este considerat central și absolut elastic.

• Contacte

 

 

16+