Calculați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în interval. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze într-un interval dat. Calcularea probabilității unei abateri date a unei variabile aleatoare normale

Pagina 1
Testul 7
Legea distribuției normale. Probabilitatea de lovire este distribuită în mod normal variabilă aleatoare(NRSV) la un interval specificat.
Informații de bază din teorie.

Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare (RV) se numește normală. X, dacă densitatea distribuției este determinată de ecuația:

Unde o– așteptarea matematică a SV X; - abaterea standard.

Programa
simetric fata de o linie verticala
. Cu cât este mai mare, cu atât intervalul curbei este mai mare
. Valorile funcției
sunt disponibile în tabele.

Probabilitatea ca CB X să ia o valoare aparținând intervalului
:
, Unde
- Funcția Laplace. Funcţie
determinate din tabele.

La =0 curba
simetric față de axa op-amp este distribuția normală standard (sau standardizată).

Deoarece funcția de densitate de probabilitate a NRSV este simetrică în raport cu așteptarea matematică, este posibil să se construiască așa-numita scară de dispersie:

Se poate observa că cu o probabilitate de 0,9973 se poate afirma că NRSV va lua valori în intervalul
. Această afirmație este numită „Regula celor trei sigma” în teoria probabilității.

1. Comparați valorile pentru două curbe NRSV.

1)
2)

2. Variabila aleatoare continuă X este specificată de densitatea distribuției de probabilitate
. Atunci așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare distribuite normal este egală cu:

1) 3 2) 18 3) 4 4)

3. NRSV X este dat de densitatea distribuției:
.

Aşteptare iar dispersia acestui SV sunt egale cu:

1) =1 2) =5 3) =5

=25 =1 =25
4. Regula trei sigma înseamnă că:

1) Probabilitatea ca SV să atingă intervalul
, adică aproape de unitate;

2) NRSV nu poate depăși
;

3) Graficul densității NRSV este simetric în raport cu așteptările matematice

5. SV X este distribuit normal cu o așteptare matematică egală cu 5 și abaterea standard egală cu 2 unități. Expresia pentru densitatea de distribuție a acestui NRSV are forma:

1)

2)

3)

6. Așteptările matematice și abaterea standard a NRSV X sunt egale cu 10 și 2. Probabilitatea ca, în urma testului, SV X să ia valoarea conținută în interval este:

1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211

7. Piesa este considerată adecvată dacă abaterea X a mărimii reale de la dimensiunea din desen în valoare absolută este mai mică de 0,7 mm. Abaterile X de la dimensiunea din desen sunt NRSV cu valoarea = 0,4 mm. 100 piese produse; Dintre acestea, următoarele vor fi potrivite:

1) 92 2) 64 3) 71

8. Așteptările matematice și abaterea standard a NRSV X sunt egale cu 10 și 2. Probabilitatea ca, în urma testului, SV X să ia valoarea conținută în interval este:

1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432

9. Eroarea X de fabricare a unei piese este NRSV cu valoarea o=10 și =0,1. Apoi, cu o probabilitate de 0,9973, intervalul dimensiunilor pieselor care este simetric în raport cu o=10 va fi:

1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1

10. Cântăriți toate produsele fără erori sistematice. Erorile aleatorii ale măsurătorilor X sunt supuse legii normale cu valoarea =10 g Probabilitatea ca cântărirea să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 15 g în valoare absolută este:

1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332

11. NRSV X are o așteptare matematică o=10 și abaterea standard =5. Cu o probabilitate de 0,9973, valoarea lui X va intra în intervalul:

1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)

12. NRSV X are o așteptare matematică o=10. Se știe că probabilitatea ca X să cadă în interval este de 0,3. Atunci probabilitatea ca CB X să cadă în interval va fi egală cu:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

13. NRSV X are o așteptare matematică o=25. Probabilitatea ca X să cadă în interval este 0,2. Atunci probabilitatea ca X să cadă în interval va fi egală cu:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

14. Temperatura camerei este menținută de un încălzitor și are o distribuție normală cu
Şi
. Probabilitatea ca temperatura în această cameră să fie între
la
este:

1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67

15. Pentru o distribuție normală standardizată, valoarea este:

1) 1 2) 2 3)

16. O distribuție empirică normală se formează atunci când:

1) există un număr mare de cauze aleatoare independente care au aproximativ aceeași pondere statistică;

2) există un număr mare de variabile aleatoare care sunt puternic dependente una de cealaltă;

3) dimensiunea eșantionului este mică.

1	Sens determină intervalul curbei densității distribuției în raport cu așteptările matematice. Pentru curba 2 intervalul este mai mare, adică	(2)
2	În conformitate cu ecuația pentru densitatea NRSV, așteptarea matematică o=4.	(3)
3	În conformitate cu ecuația pentru densitatea NRSV avem: =1; =5, adică .	(1)
4	Răspunsul (1) este corect.	(1)
5	Expresia pentru densitatea distribuției NRSV are forma: . După condiție: =2; o =5, adică răspunsul (1) este corect.	(1)
6	După condiție =10; =2. Intervalul este . Apoi: ; . Conform tabelelor cu funcții Laplace: ; . Atunci probabilitatea dorită:	(2)
7	Dupa conditie: =0; ;=0,4. Aceasta înseamnă că intervalul va fi [-0,7; 0,7]. ; . ; Adică, din 100 de piese, cel mai probabil vor fi potrivite 92 de piese.	(1)

8	Dupa conditie: =10 și =2. Intervalul este . Apoi: ; . Conform tabelelor cu funcții Laplace: ; ;	(1)
9	Într-un interval simetric față de așteptarea matematică o =10 cu probabilitatea 0,9973, toate părțile cu dimensiuni egale cu , adică ; . Astfel:	(1)
10	După condiție , adică =0, iar intervalul va fi [-15;15] Apoi: ; .

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.

FORMULE DE PRECIZARE A LEGII DISTRIBUȚIEI PENTRU VARIABILELE ALEATORII CONTINUE

FORME DE STABILIRE A LEGII DE DISTRIBUȚIE A VARIABILELOR ALEATORII DISCRETE

1). Tabel de distribuție (rând)- cea mai simplă formă de precizare a legii de distribuție a variabilelor aleatoare discrete.

Deoarece tabelul listează toate valorile posibile ale variabilei aleatoare.

2). Poligon de distribuție. Când descrieți grafic o serie de distribuție într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile corespunzătoare sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. Apoi punctele sunt desenate și conectate cu segmente drepte. Figura rezultată - un poligon de distribuție - este, de asemenea, o formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

3). Funcția de distribuție - probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia o valoare mai mică decât un anumit x dat, adică

.

Din punct de vedere geometric, poate fi considerată probabilitatea de a lovi un punct aleatoriu X la o secțiune a axei numerelor situată în stânga unui punct fix X.

2) ; ;

Sarcina 2.1. X Variabila aleatoare

- numărul de lovituri pe țintă cu 3 lovituri (vezi problema 1.5). Construiți o serie de distribuție, un poligon de distribuție, calculați valorile funcției de distribuție și construiți graficul acesteia.:

Soluţie X 1) Seria de distribuție a unei variabile aleatoare

prezentate în tabel	,
prezentate în tabel	,
prezentate în tabel	,
prezentate în tabel
La	.

la Trasarea valorilor pe axa absciselor iar de-a lungul axei ordonatelor - valorile și prin alegerea unei anumite scale, obținem un grafic al funcției de distribuție (Fig. 2.2). Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete are salturi (discontinuități) în acele puncte în care variabila aleatoare X ia valori specifice specificate în tabelul de distribuție. Suma tuturor salturilor din funcția de distribuție este egală cu unu.

Orez. 2.2 - Funcția de distribuție a unei valori discrete

1). Funcția de distribuție .

Pentru o variabilă aleatoare continuă, graficul funcției de distribuție (Fig. 2.3) are forma unei curbe netede.

Proprietățile funcției de distribuție:

c) dacă .

Orez. 2.3 - Funcția de distribuție a unei valori continue

2). Densitatea de distribuție definit ca derivata functiei de distributie, i.e.

.

Curbă care ilustrează densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, numit curba de distributie(Fig. 2.4).

Proprietăți de densitate:

a), adică densitatea este o funcție nenegativă;

b), adică zonă limitată curba de distributie iar axa x este întotdeauna egală cu 1.

Dacă toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii X variază de la o la b, atunci a doua proprietate a densității va lua forma:

Orez. 2.4 - Curba de distribuție

În practică, este adesea necesar să se cunoască probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua o valoare în anumite limite, de exemplu, de la a la b. Probabilitatea necesară pentru variabilă aleatoare discretă X determinat de formula

întrucât probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero: .

Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare continuă X la intervalul (a,b) este determinată și de expresia:

Problema 2.3. X Variabila aleatoare

dat de funcţia de distribuţie X Găsiți densitatea, precum și probabilitatea ca rezultatul testului să fie o variabilă aleatorie

- numărul de lovituri pe țintă cu 3 lovituri (vezi problema 1.5). Construiți o serie de distribuție, un poligon de distribuție, calculați valorile funcției de distribuție și construiți graficul acesteia.:

va lua valoarea cuprinsă în intervalul . X 2. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare

în interval este determinat de formula. Luând și , găsim X Să găsim funcția de distribuție a variabilei aleatoare

, sub rezerva legii distribuției normale:

.

Să facem o schimbare în integrală și să o aducem la forma: Integral nu se exprimă prin funcții elementare, dar poate fi calculată printr-o funcție specială care exprimă integrală definită din expresia sau . Să exprimăm funcția

.

prin funcția Laplace Ф(х):

.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă în zona (α, β) este exprimată prin formula:

.

Folosind ultima formulă, puteți estima probabilitatea ca o variabilă aleatorie normală să se abate de la așteptările ei matematice cu o valoare pozitivă ε, arbitrar mică, predeterminată: Fie , atunci și . La=3 obținem , adică evenimentul că abaterea unei variabile aleatoare distribuite normal de la așteptarea matematică va fi mai mică este practic cert.

Aceasta este regula trei sigma: dacă variabila aleatoare este distribuită normal, atunci valoare absolută abaterea valorilor sale de la așteptarea matematică nu depășește de trei ori abaterea standard.

Sarcină. Fie ca diametrul piesei produse de atelier să fie o variabilă aleatorie distribuită normal, m = 4,5 cm, cm Aflați probabilitatea ca diametrul unei piese luate la întâmplare să difere de așteptările sale matematice cu cel mult 1 mm.

Soluție. Această problemă este caracterizată de următoarele valori ale parametrilor care determină probabilitatea dorită: , , F(0,2)=0,0793,

Întrebări de securitate

1. Ce distribuție de probabilitate se numește uniformă?

2. Care este forma funcției de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform pe intervalul [ O; b]?

3. Cum se calculează probabilitatea ca valorile unei variabile aleatoare distribuite uniform să se încadreze într-un interval dat?

4. Cum se determină distribuția exponențială a unei variabile aleatoare?

5. Ce formă are funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite conform legii exponențiale?

6. Ce distribuție de probabilitate se numește normală?

7. Ce proprietăți are densitatea normală de distribuție? Cum afectează parametrii distribuției normale aspectul graficului densității distribuției normale?

8. Cum se calculează probabilitatea ca valorile unei variabile aleatoare distribuite normal să se încadreze într-un interval dat?

9. Cum se calculează probabilitatea de abatere a valorilor unei variabile aleatoare distribuite normal de la așteptarea sa matematică?

10. Formulați regula „trei sigma”?

11. Care sunt așteptările matematice, dispersia și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite conform unei legi uniforme pe segment [ O; b]?

12. Care sunt așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite conform unei legi exponențiale cu parametrul λ?

13. Care sunt așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite conform unei legi normale cu parametri mȘi?

Sarcini de testare

1. Variabilă aleatoare X distribuit uniform pe intervalul [−3, 5]. Găsiți densitatea distribuției și funcția de distribuție X. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitățile și . Calculați valoarea așteptată, varianța și abaterea standard X.

2. Autobuzele de pe ruta nr. 21 circulă regulat la intervale de 10 minute. Pasagerul coboară la oprirea la moment întâmplător timp. Luând în considerare o variabilă aleatoare X− timpul în care un pasager așteaptă un autobuz (în minute). Găsiți densitatea distribuției și funcția de distribuție X. Construiți grafice ale ambelor funcții. Găsiți probabilitatea ca un pasager să nu aștepte mai mult de cinci minute pentru un autobuz. Găsiți timpul mediu de așteptare al autobuzului și variația timpului de așteptare al autobuzului.

3. S-a stabilit că timpul de reparare pentru un VCR (în zile) este o variabilă aleatorie X, distribuit conform legii exponenţiale. Timpul mediu de reparație pentru un VCR este de 10 zile. Găsiți densitatea distribuției și funcția de distribuție X. Construiți grafice ale ambelor funcții. Găsiți probabilitatea ca repararea VCR-ului să dureze cel puțin 11 zile.

4. Desenați grafice de densitate și funcții de distribuție ale unei variabile aleatoare X, distribuit conform legii normale cu parametri m= = − 2 și = 0,2.

Reveni