Unghiul este figura geometrică principală, pe care o vom analiza pe parcursul întregului subiect. Definiții, metode de setare, notare și măsurare a unghiului. Să ne uităm la principiile de evidențiere a colțurilor în desene. Întreaga teorie este ilustrată și are număr mare desene vizuale.
Definiția 1Colţ– o simplă figură importantă în geometrie. Unghiul depinde direct de definiția unei raze, care constă, la rândul său, din conceptele de bază ale unui punct, unei drepte și a unui plan. Pentru un studiu amănunțit, trebuie să aprofundați subiecte linie dreaptă pe un plan - informații necesareŞi avion - informații necesare.
Conceptul de unghi începe cu conceptele de punct, plan și linie dreaptă descrise pe acest plan.
Definiția 2
Dată o linie dreaptă a pe plan. Să notăm un anumit punct O pe el. O linie dreaptă este împărțită de un punct în două părți, fiecare având un nume grindă, iar punctul O – începutul fasciculului.
Cu alte cuvinte, grinda sau pe jumătate drept - este o parte a unei linii constând din puncte ale unei linii date situate pe aceeași parte față de punctul de plecare, adică punctul O.
Desemnarea fasciculului este permisă în două variante: una sau două litere mici cu majuscule alfabet latin. Când este desemnată cu două litere, fasciculul are un nume format din două litere. Să aruncăm o privire mai atentă asupra desenului.
Să trecem la conceptul de determinare a unui unghi.
Definiția 3
Colţ este o figură situată într-un plan dat, formată din două raze divergente care au o origine comună. Partea unghiulară este o rază vârf– origine comună a laturilor.
Există un caz în care laturile unui unghi pot acționa ca o linie dreaptă.
Definiția 4
Când ambele laturi ale unui unghi sunt situate pe aceeași linie dreaptă sau laturile sale servesc ca semilinii suplimentare ale unei linii drepte, atunci un astfel de unghi se numește extins.
Imaginea de mai jos arată un colț rotit.
Un punct de pe o dreaptă este vârful unui unghi. Cel mai adesea este desemnat prin punctul O.
Un unghi în matematică este notat cu semnul „∠”. Când laturile unui unghi sunt desemnate cu litere mici latine, atunci pentru a determina corect unghiul, literele sunt scrise într-un rând corespunzător laturilor. Dacă două laturi sunt desemnate k și h, atunci unghiul este desemnat ∠ k h sau ∠ h k.
Când desemnarea este cu majuscule, atunci, respectiv, laturile unghiului sunt denumite O A și O B. În acest caz, unghiul are un nume alcătuit din trei litere ale alfabetului latin, scrise pe rând, în centru cu un vârf - ∠ A O B și ∠ B O A. Există o desemnare sub formă de numere atunci când unghiurile nu au nume sau denumiri de litere. Mai jos este o poză unde în moduri diferite unghiurile sunt indicate.
Un unghi împarte un plan în două părți. Dacă unghiul nu este rotit, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, celălalt - zona colțului exterior. Mai jos este o imagine care explică ce părți ale avionului sunt externe și care sunt interne.
Când este împărțită la un unghi dezvoltat pe un plan, oricare dintre părțile sale este considerată a fi regiunea interioară a unghiului dezvoltat.
Zona interioară a unghiului este un element care servește pentru a doua definiție a unghiului.
Definiția 5
Unghi numită figură geometrică formată din două raze divergente care au o origine comună și o zonă unghiulară internă corespunzătoare.
Această definiție este mai strictă decât cea anterioară, deoarece are mai multe condiții. Nu este indicat să luăm în considerare ambele definiții separat, deoarece un unghi este o figură geometrică transformată folosind două raze care emană dintr-un punct. Când este necesar să se efectueze acțiuni cu un unghi, definiția înseamnă prezența a două raze cu un început comun și o zonă internă.
Definiția 6Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă există o latură comună, iar celelalte două sunt semilinii suplimentare sau formează un unghi drept.
Figura arată că unghiurile adiacente se completează unul pe celălalt, deoarece sunt o continuare unul celuilalt.
Definiția 7
Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile uneia sunt semilinii complementare ale celeilalte sau sunt continuare ale laturilor celeilalte. Imaginea de mai jos prezintă o imagine a unghiurilor verticale.
Când liniile drepte se intersectează, se obțin 4 perechi de unghiuri adiacente și 2 perechi de unghiuri verticale. Mai jos este prezentat în imagine.
Articolul prezintă definițiile unghiurilor egale și inegale. Să ne uităm la ce unghi este considerat mai mare, care este mai mic și alte proprietăți ale unghiului. Două cifre sunt considerate egale dacă, atunci când sunt suprapuse, coincid complet. Aceeași proprietate se aplică și pentru compararea unghiurilor.
Sunt date două unghiuri. Este necesar să ajungem la o concluzie dacă aceste unghiuri sunt egale sau nu.
Se știe că există o suprapunere a vârfurilor a două unghiuri și a laturilor primului unghi cu orice altă latură a celui de-al doilea. Adică, dacă există o coincidență completă atunci când unghiurile sunt suprapuse, laturile unghiurilor date se vor alinia complet, unghiurile egal.
Este posibil ca atunci când sunt suprapuse, părțile laterale să nu se alinieze, apoi colțurile inegal, mai mic din care constă dintr-un altul, și Mai mult conține un unghi complet diferit. Mai jos sunt unghiuri inegale care nu au fost aliniate atunci când au fost suprapuse.
Unghiurile drepte sunt egale.
Măsurarea unghiurilor începe cu măsurarea laturii unghiului măsurat și a zonei sale interioare, umplându-le cu unghiuri unitare și aplicându-le unul altuia. Este necesar să se numără numărul de unghiuri așezate, ele predetermină măsura unghiului măsurat.
Unitatea de unghi poate fi exprimată prin orice unghi măsurabil. Există unități de măsură general acceptate care sunt utilizate în știință și tehnologie. Ei sunt specializați în alte titluri.
Conceptul cel mai des folosit grad.
Definiția 8
Un grad numit unghi care are o sută optzecea parte a unui unghi drept.
Denumirea standard pentru un grad este „°”, apoi un grad este 1°. Prin urmare, un unghi drept este format din 180 de astfel de unghiuri de un grad. Toate colțurile disponibile sunt așezate strâns între ele, iar părțile laterale ale celuilalt sunt aliniate cu următoarea.
Se știe că numărul de grade dintr-un unghi este însăși măsura unghiului. Un unghi desfășurat are 180 de unghiuri stivuite în compoziția sa. Figura de mai jos prezintă exemple în care unghiul este așezat de 30 de ori, adică o șesime din desfășurat și de 90 de ori, adică jumătate.
Minutele și secundele sunt folosite pentru a măsura cu precizie unghiurile. Ele sunt utilizate atunci când valoarea unghiului nu este o desemnare a unui grad întreg. Aceste fracții de grad permit calcule mai precise.
Definiția 9
într-un minut numită o șaizecime de grad.
Definiția 10
Într-o secundă numit o şaizecime de minut.
Un grad conține 3600 de secunde. Minutele sunt desemnate cu """, iar secundele sunt "" Desemnarea are loc:
1 ° = 60 " = 3600 "", 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,
iar desemnarea pentru un unghi de 17 grade 3 minute și 59 secunde este 17 ° 3 "59"".
Definiția 11
Să dăm un exemplu de desemnare a gradului de măsură a unui unghi egal cu 17 ° 3 "59 ". Intrarea are o altă formă: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.
Pentru a măsura cu precizie unghiurile, utilizați un dispozitiv de măsurare, cum ar fi un raportor. Când notăm unghiul ∠ A O B și măsura gradului său de 110 grade, se folosește o notație mai convenabilă ∠ A O B = 110 °, care spune „Unghiul A O B este egal cu 110 grade”.
În geometrie, se folosește o măsură a unghiului din intervalul (0, 180], iar în trigonometrie, o măsură de grad arbitrară se numește unghiuri de rotație. Valoarea unghiurilor este întotdeauna exprimată ca număr real. Unghi drept- Acesta este un unghi care are 90 de grade. Unghi ascuțit– un unghi care este mai mic de 90 de grade și bont- Mai mult.
Un unghi ascuțit este măsurat în intervalul (0, 90), iar un unghi obtuz - (90, 180). Trei tipuri de unghiuri sunt prezentate clar mai jos.
Orice măsură de grad a oricărui unghi are aceeași valoare. Un unghi mai mare are în mod corespunzător o măsură de grad mai mare decât unul mai mic. Gradul de măsurare a unui unghi este suma tuturor gradelor disponibile ale unghiurilor interioare. Mai jos este o figură care arată unghiul AOB, format din unghiurile AOC, COD și DOB. În detaliu arată astfel: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.
Pe baza acestui fapt, putem concluziona că sumă toată lumea colțurile adiacente egal cu 180 de grade, pentru că toate formează un unghi drept.
Rezultă că orice unghiurile verticale sunt egale. Dacă luăm asta ca exemplu, constatăm că unghiurile A O B și C O D sunt verticale (în desen), atunci perechile de unghiuri A O B și B O C, C O D și B O C sunt considerate adiacente. În acest caz, egalitatea ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° împreună cu ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° sunt considerate unic adevărate. Prin urmare avem că ∠ A O B = ∠ C O D . Mai jos este un exemplu de imagine și denumirea capturilor verticale.
Pe lângă grade, minute și secunde, se folosește o altă unitate de măsură. Se numește radian. Cel mai adesea poate fi găsit în trigonometrie atunci când se notează unghiurile poligoanelor. Cum se numeste un radian?
Definiția 12
Un unghi radian numit unghi central, care are raza unui cerc egală cu lungimea arcului.
În figură, radianul este reprezentat ca un cerc, unde există un centru, indicat printr-un punct, cu două puncte de pe cerc legate și transformate în raze O A și O B. Prin definiție, acest triunghi A O B este echilateral, ceea ce înseamnă lungimea arcului A B este egală cu lungimile razelor O B și O A.
Denumirea unghiului este considerată „rad”. Adică, scrierea a 5 radiani este abreviată ca 5 rad. Uneori puteți găsi o notație numită pi. Radianii nu depind de lungimea unui cerc dat, deoarece figurile au o anumită limitare prin unghi și arcul său cu centrul situat la vârful unghiului dat. Sunt considerate similare.
Radianii au aceeași semnificație ca și grade, doar că diferența este în mărimea lor. Pentru a determina acest lucru, este necesar să împărțiți lungimea arcului calculată a unghiului central la lungimea razei acestuia.
În practică ei folosesc transformarea gradelor în radiani și a radianilor în grade pentru rezolvarea mai convenabilă a problemelor. Acest articol conține informații despre legătura dintre măsura gradului și radian, unde puteți studia în detaliu conversiile de la grade la radiani și invers.
Pentru o reprezentare vizuală și convenabilă a arcurilor și colțurilor, se folosesc desene. Nu este întotdeauna posibil să descrieți și să marcați corect acest sau acel unghi, arc sau nume. Unghiurile egale sunt desemnate cu același număr de arce, iar unghiurile inegale cu un număr diferit. Desenul arată desemnarea corectă a unghiurilor acute, egale și inegale.
Când trebuie marcate mai mult de 3 colțuri, sunt utilizate simboluri speciale de arc, cum ar fi ondulate sau zimțate. Nu este atât de important. Mai jos este o imagine care arată denumirea lor.
Simbolurile unghiulare trebuie păstrate simple pentru a nu interfera cu alte semnificații. La rezolvarea unei probleme, se recomandă evidențierea doar a unghiurilor necesare soluționării, pentru a nu aglomera întregul desen. Acest lucru nu va interfera cu soluția și dovada și va oferi, de asemenea, un aspect estetic desenului.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În acest articol vom analiza cuprinzător una dintre formele geometrice de bază - un unghi. Să începem cu concepte și definiții auxiliare care ne vor conduce la definirea unghiului. După aceasta, prezentăm modalitățile acceptate de desemnare a unghiurilor. În continuare, ne vom uita în detaliu la procesul de măsurare a unghiurilor. În concluzie, vă vom arăta cum puteți marca colțurile în desen. Am pus la dispoziție toată teoria desenele și ilustrațiile grafice necesare pentru o mai bună memorare a materialului.
Navigare în pagină.
Definiţia angle.
Unghiul este una dintre cele mai importante figuri din geometrie. Definiția unghiului este dată prin definiția unei raze. La rândul său, o idee a unei raze nu poate fi obținută fără cunoașterea unor astfel de figuri geometrice precum un punct, o linie dreaptă și un plan. Prin urmare, înainte de a vă familiariza cu definiția unghiului, vă recomandăm să periați teoria din secțiuni și.
Deci, vom pleca de la conceptele de punct, linie pe un plan și plan.
Să dăm mai întâi definiția unei raze.
Să ni se dea o linie dreaptă în avion. Să o notăm cu litera a. Fie O un punct al dreptei a. Punctul O împarte linia a în două părți. Fiecare dintre aceste părți, împreună cu punctul O, se numește grindă, iar punctul O se numește începutul razei. De asemenea, puteți auzi cum se numește fasciculul semidirectă.
Pentru concizie și comoditate, a fost introdusă următoarea notație pentru raze: o rază este desemnată fie printr-o literă latină mică (de exemplu, raza p sau raza k), fie prin două litere mari latine, prima dintre care corespunde începutului de raza, iar a doua denotă un punct al acestei raze (de exemplu, raza OA sau raza CD). Să arătăm imaginea și denumirea razelor din desen.
Acum putem da prima definiție a unghiului.
Definiţie.
Colţ- aceasta este o figură geometrică plată (adică situată în întregime într-un anumit plan), care este formată din două raze divergente cu o origine comună. Fiecare dintre raze este numită partea colțului, originea comună a laturilor unui unghi se numește vârful unghiului.
Este posibil ca laturile unui unghi să formeze o linie dreaptă. Acest unghi are propriul nume.
Definiţie.
Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie dreaptă, atunci se numește un astfel de unghi extins.
Vă prezentăm atenției o ilustrare grafică a unui unghi rotit.
Pentru a indica un unghi, utilizați pictograma unghi „”. Dacă laturile unui unghi sunt desemnate cu litere mici latine (de exemplu, o parte a unghiului este k, iar cealaltă este h), atunci pentru a desemna acest unghi, după pictograma unghiului, literele corespunzătoare laturilor sunt scrise în un rând, iar ordinea scrierii nu contează (adică sau). Dacă laturile unui unghi sunt desemnate cu două litere mari latine (de exemplu, o parte a unghiului este OA, iar a doua latură a unghiului este OB), atunci unghiul este desemnat după cum urmează: după pictograma unghiului, trei se notează litere care sunt implicate în desemnarea laturilor unghiului, iar litera corespunzătoare vârfului unghiului este situată în mijloc (în cazul nostru, unghiul va fi desemnat ca sau ). Dacă vârful unui unghi nu este vârful altui unghi, atunci un astfel de unghi poate fi notat cu o literă corespunzătoare vârfului unghiului (de exemplu, ). Uneori puteți vedea că unghiurile din desene sunt marcate cu numere (1, 2 etc.), aceste unghiuri sunt desemnate ca și așa mai departe. Pentru claritate, vă prezentăm un desen în care unghiurile sunt reprezentate și indicate.
Orice unghi împarte planul în două părți. În plus, dacă unghiul nu este rotit, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, iar celălalt - zona colțului exterior. Următoarea imagine explică care parte a planului corespunde zonei interne a colțului și care celei externe.
Oricare dintre cele două părți în care unghiul desfășurat împarte planul poate fi considerată regiunea interioară a unghiului desfășurat.
Definirea regiunii interioare a unui unghi ne aduce la a doua definiție a unghiului.
Definiţie.
Colţ este o figură geometrică care este formată din două raze divergente cu o origine comună și aria internă corespunzătoare a unghiului.
Trebuie remarcat faptul că a doua definiție a unghiului este mai strictă decât prima, deoarece conține mai multe condiții. Cu toate acestea, prima definiție a unghiului nu trebuie respinsă și nici prima și a doua definiție a unghiului nu trebuie luate în considerare separat. Să clarificăm acest punct. Când vorbim despre un unghi ca o figură geometrică, atunci un unghi este înțeles ca o figură compusă din două raze cu o origine comună. Dacă este necesar să se efectueze orice acțiune cu acest unghi (de exemplu, măsurarea unui unghi), atunci unghiul ar trebui să fie deja înțeles ca două raze cu un început comun și o zonă internă (altfel ar apărea o situație dublă din cauza prezența zonelor interne și externe ale unghiului).
Să dăm și definiții ale unghiurilor adiacente și verticale.
Definiţie.
Unghiuri adiacente- acestea sunt două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două formează un unghi desfășurat.
Din definiție rezultă că unghiurile adiacente se completează până la un unghi drept.
Definiţie.
Unghiuri verticale- acestea sunt doua unghiuri in care laturile unui unghi sunt continuari ale laturilor celuilalt.
Figura prezintă unghiuri verticale.
Evident, două linii care se intersectează formează patru perechi de unghiuri adiacente și două perechi de unghiuri verticale.
Comparația unghiurilor.
În acest paragraf al articolului, vom înțelege definițiile unghiurilor egale și inegale și, de asemenea, în cazul unghiurilor inegale, vom explica care unghi este considerat mai mare și care mai mic.
Amintiți-vă că două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi combinate prin suprapunere.
Să ni se dea două unghiuri. Să prezentăm câteva raționamente care ne vor ajuta să obținem un răspuns la întrebarea: „Sunt aceste două unghiuri egale sau nu?”
Evident, putem întotdeauna potrivi vârfurile a două colțuri, precum și o parte a primului colț cu ambele părți ale celui de-al doilea colț. Să aliniem latura primului unghi cu acea latură a celui de-al doilea unghi, astfel încât laturile rămase ale unghiurilor să fie pe aceeași parte a liniei drepte pe care se află laturile combinate ale unghiurilor. Apoi, dacă celelalte două laturi ale unghiurilor coincid, atunci unghiurile sunt numite egal.
Dacă celelalte două laturi ale unghiurilor nu coincid, atunci unghiurile se numesc inegal, și mai mici se consideră unghiul care face parte dintr-un altul ( mare este unghiul care contine complet un alt unghi).
Evident, cele două unghiuri drepte sunt egale. De asemenea, este evident că un unghi dezvoltat este mai mare decât orice unghi nedezvoltat.
Măsurarea unghiurilor.
Măsurarea unghiurilor se bazează pe compararea unghiului măsurat cu unghiul luat ca unitate de măsură. Procesul de măsurare a unghiurilor arată astfel: pornind de la una dintre laturile unghiului care se măsoară, zona sa internă este umplută secvenţial cu unghiuri individuale, aşezându-le strâns unul lângă celălalt. În același timp, se reține numărul de unghiuri așezate, ceea ce oferă măsura unghiului măsurat.
De fapt, orice unghi poate fi adoptat ca unitate de măsură pentru unghiuri. Cu toate acestea, există multe unități general acceptate de unghiuri de măsurare legate de diverse domenii ale științei și tehnologiei, ele au primit denumiri speciale.
Una dintre unitățile de măsurare a unghiurilor este grad.
Definiţie.
Un grad- acesta este un unghi egal cu o sută optzecime din unghiul rotit.
Un grad este notat cu simbolul „”, prin urmare un grad este notat ca .
Astfel, într-un unghi rotit putem încadra 180 de unghiuri într-un grad. Va arăta ca o jumătate de plăcintă rotundă tăiată în 180 de bucăți egale. Foarte important: „bucățile de plăcintă” se potrivesc strâns între ele (adică părțile laterale ale colțurilor sunt aliniate), cu partea primului colț aliniată cu o parte a unghiului desfășurat și partea ultimului unghi unitar coincide cu cealaltă parte a unghiului desfășurat.
Când măsurați unghiuri, aflați de câte ori este plasat un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) în unghiul care se măsoară până când zona interioară a unghiului măsurat este acoperită complet. După cum am văzut deja, într-un unghi rotit gradul este de exact 180 de ori. Mai jos sunt exemple de unghiuri în care un unghi de un grad se potrivește exact de 30 de ori (un astfel de unghi este o șaseme din unghiul desfășurat) și exact de 90 de ori (jumătate din unghiul desfășurat).
Pentru a măsura unghiuri mai mici de un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) și în cazurile în care unghiul nu poate fi măsurat cu un număr întreg de grade (unități de măsură luate), este necesar să se utilizeze părți de grad (părți de unități de măsură luate). Anumite părți ale unei diplome primesc nume speciale. Cele mai comune sunt așa-numitele minute și secunde.
Definiţie.
Minut este o şaizecime dintr-un grad.
Definiţie.
Doilea este o şaizecime dintr-un minut.
Cu alte cuvinte, există șaizeci de secunde într-un minut și șaizeci de minute într-un grad (3600 de secunde). Simbolul „” este folosit pentru a desemna minute, iar simbolul „” este folosit pentru a desemna secunde (a nu se confunda cu semnele derivate și derivate a doua). Apoi, cu definițiile și notațiile introduse, avem , iar unghiul în care se încadrează 17 grade 3 minute și 59 secunde poate fi notat ca .
Definiţie.
Măsura gradului de unghi este un număr pozitiv care arată de câte ori se încadrează un grad și părțile sale într-un unghi dat.
De exemplu, gradul de măsurare a unui unghi dezvoltat este o sută optzeci, iar gradul de măsurare a unui unghi este egală cu 
.
Există unele speciale pentru măsurarea unghiurilor. instrumente de măsurare, cel mai faimos dintre ele este raportorul.
Dacă sunt cunoscute atât denumirea unghiului (de exemplu, ), cât și măsura gradului său (fie 110), atunci utilizați o notație scurtă a formei 
și ei spun: „Unghiul AOB este egal cu o sută zece grade”.
Din definițiile unui unghi și ale gradului de măsură a unui unghi rezultă că în geometrie, măsura unui unghi în grade este exprimată printr-un număr real din intervalul (0, 180] (în trigonometrie, unghiuri cu grad arbitrar). măsura sunt considerate, se numesc). Un unghi de nouăzeci de grade are un nume special, se numește unghi drept. Se numește un unghi mai mic de 90 de grade unghi ascuțit. Se numește un unghi mai mare de nouăzeci de grade unghi obtuz. Deci, măsura unui unghi ascuțit în grade este exprimată printr-un număr din intervalul (0, 90), măsura unui unghi obtuz este exprimată printr-un număr din intervalul (90, 180), un unghi drept este egal cu nouăzeci de grade. Iată ilustrații ale unui unghi ascuțit, un unghi obtuz și unghi drept.
Din principiul măsurării unghiurilor rezultă că gradele unghiurilor egale sunt aceleași, gradul gradului unui unghi mai mare este mai mare decât gradul unui unghi mai mic, iar gradul gradului unui unghi alcătuit din mai multe unghiurile este egală cu suma gradelor unghiurilor componente. Figura de mai jos arată unghiul AOB, care este format din unghiurile AOC, COD și DOB, în acest caz.
Astfel, suma unghiurilor adiacente este de o sută optzeci de grade, deoarece formează un unghi drept.
Din această afirmaţie rezultă că. Într-adevăr, dacă unghiurile AOB și COD sunt verticale, atunci unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și unghiurile COD și BOC sunt de asemenea adiacente, prin urmare, egalitățile și sunt valabile, ceea ce implică egalitatea.
Împreună cu gradul, se numește o unitate de măsură convenabilă pentru unghiuri radian. Măsura radianului este utilizată pe scară largă în trigonometrie. Să definim un radian.
Definiţie.
Unghi de un radian- Asta unghiul central, care corespunde unei lungimi de arc egală cu lungimea razei cercului corespunzător.
Să dăm o ilustrare grafică a unui unghi de un radian. În desen, lungimea razei OA (precum și a razei OB) este egală cu lungimea arcului AB, prin urmare, prin definiție, unghiul AOB este egal cu un radian.
Abrevierea „rad” este folosită pentru a desemna radiani. De exemplu, intrarea 5 rad înseamnă 5 radiani. Cu toate acestea, în scris denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, când se scrie că unghiul este egal cu pi, înseamnă pi rad.
Este de remarcat separat faptul că mărimea unghiului, exprimată în radiani, nu depinde de lungimea razei cercului. Acest lucru se datorează faptului că figurile delimitate de un unghi dat și un arc de cerc cu un centru la vârful unui unghi dat sunt similare între ele.
Măsurarea unghiurilor în radiani se poate face în același mod ca și măsurarea unghiurilor în grade: aflați de câte ori se încadrează un unghi de un radian (și părțile sale) într-un unghi dat. Sau puteți calcula lungimea arcului unghiului central corespunzător și apoi o puteți împărți la lungimea razei.
În scopuri practice, este util să știm cum se leagă între ele măsurile de grad și radian, deoarece trebuie efectuate destul de multe dintre ele. Acest articol stabilește o conexiune între măsurile de unghi în grade și radiani și oferă exemple de conversie a gradelor în radiani și viceversa.
Desemnarea unghiurilor în desen.
În desene, pentru comoditate și claritate, colțurile pot fi marcate cu arce, care sunt de obicei desenate în zona interioară a colțului de la o parte a colțului la cealaltă. Unghiurile egale sunt marcate cu același număr de arce, unghiurile inegale cu un număr diferit de arce. Unghiurile drepte din desen sunt indicate printr-un simbol cu forma „”, care este reprezentat în zona interioară a unghiului drept de la o parte la alta a unghiului.
Dacă trebuie să marcați mai multe unghiuri diferite într-un desen (de obicei, mai mult de trei), atunci când marcați unghiuri, pe lângă arce obișnuite, este permis să folosiți arce de un tip special. De exemplu, puteți reprezenta arce zimțate sau ceva similar.
Trebuie remarcat faptul că nu ar trebui să vă lăsați duși de desemnarea unghiurilor în desene și să nu aglomerați desenele. Vă recomandăm să marcați numai acele unghiuri care sunt necesare în procesul de soluționare sau dovedire.
Referințe.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 – 9: manual pentru instituțiile de învățământ general.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
- Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 în instituțiile de învățământ general.
Două raze care emană dintr-un punct limitează o parte a planului care se află între raze. Figura care se formează se numește unghi. Razele cu un vârf comun în punctul de origine al razelor se numesc laturile unghiului. Vârful unghiului este situat în punctul de origine al razelor.
Colţ - parte a planului limitată de două raze emanate dintr-un punct.
Colţ este o figură geometrică care are un vârf, laturi și propria măsură a gradului.
Planul este împărțit de laturile unghiului în două părți. Cel mai mic dintre unghiuri se numește intern, cel mai mare - extern. Ca să nu existe interpretări diferite, care dintre unghiurile despre care vorbim, laturile sale din desen sunt legate printr-un arc. (vezi poza)
Măsura unghiulară a unghiului
Măsura unghiului are următoarele proprietăți:- unghiurilor egale corespund măsurilor unghiulare egale;
- unui unghi mai mic corespunde unei măsuri unghiulare mai mici;
- un unghi ale cărui laturi coincid (unghi zero) are măsura unghiulară egală cu zero (același lucru este valabil și pentru unghiul dintre liniile paralele);
- fiecare unghi diferit de zero are o anumită măsură unghiulară mai mare decât zero;
- (aditivitate) măsura unghiulară a unui unghi este egală cu suma măsurilor unghiulare ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale (vezi. axiomă pentru măsurarea unghiurilor).
1 revoluție = 360 de grade = 2π radiani = 400 de grade
Luați în considerare un unghi ale cărui laturi coincid ( ∠ VAV 1 ). Gradul său este de 0°
Dacă o parte a unghiului ( AB ) fixați și a doua parte ( AB 1 ) se rotește în sens invers acelor de ceasornic până când coincide cu prima latură (AB), atunci planul unui astfel de unghi va fi unghi complet(Fig. 5). Prin urmare, unghiul O (notat ∠ O ) este un unghi complet.
Desemnarea unghiului
Un unghi poate fi notat ca o combinație a semnului unghiului și a vârfului său, de exemplu ∠
O
; (Fig.1)
De asemenea, unghiul poate fi indicat cu majuscule latine. De exemplu ∠ABC- acesta este un unghi cu vârful B, ale cărui laturi sunt raze BA și BC (Fig. 2).
Poate exista o desemnare, cum ar fi o pictogramă unghi care indică laturile unghiului (de exemplu ∠ ab ). (Fig.3)
Unghiul poate fi notat cu litere grecești α, β, γ
și așa mai departe. (Fig. 4) Singura excepție este litera „π”. Nu este folosit pentru a indica unghiuri.
Măsura gradului de unghi
Dacă luați un unghi complet și îl împărțiți în 360 de părți (unghiuri), atunci fiecare parte care o formează 1/360 Parte unghi complet, se numește raza colțului (notat cu 1°).
Prin urmare, unghiul total este 1 ° *360=360°.
Jumătate de unghi complet va fi un unghi drept, care este egal cu 360°:2=180°.
Unghiuri centrale și înscrise
Unghiul central numit unghi al cărui vârf coincide cu centrul cercului (Figura 2). Gradul de măsură (magnitudinea) unui astfel de unghi este egală cu gradul de măsură a arcului de cerc închis între laturile unghiului.
Unghiul înscris este un unghi al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi îl intersectează (Figura 1). Mărimea unui astfel de unghi este egală cu jumătate din măsura unghiulară a arcului de cerc, care este închis între laturile sale.
Proprietățile unghiurilor înscrise într-un cerc:
- Unghiurile înscrise care subtind același arc de cerc sunt egale.
- Mărimea unui unghi înscris subîntins de același arc de cerc ca un unghi central este egală cu jumătate din mărimea unui astfel de unghi central.