În unele probleme de fizică, nu se poate stabili o legătură directă între mărimile care descriu procesul. Dar este posibil să se obțină o egalitate care să conțină derivatele funcțiilor studiate. Așa apar ecuațiile diferențiale și necesitatea de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.
Acest articol este destinat celor care se confruntă cu problema rezolvării unei ecuații diferențiale în care funcția necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este structurată în așa fel încât, cu cunoștințe zero ale ecuațiilor diferențiale, puteți face față sarcinii dvs.
Fiecare tip de ecuație diferențială este asociat cu o metodă de rezolvare cu explicații detaliate și soluții la exemple și probleme tipice. Tot ce trebuie să faceți este să determinați tipul de ecuație diferențială a problemei dvs., să găsiți un exemplu analizat similar și să efectuați acțiuni similare.
Pentru a rezolva cu succes ecuații diferențiale, veți avea nevoie și de capacitatea de a găsi seturi de antiderivate (integrale nedefinite) diverse funcții. Dacă este necesar, vă recomandăm să consultați secțiunea.
În primul rând, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi care pot fi rezolvate în raport cu derivata, apoi vom trece la EDO de ordinul doi, apoi ne vom opri asupra ecuațiilor de ordin superior și vom termina cu sisteme de ecuații diferențiale.
Reamintim că dacă y este o funcție a argumentului x.
Ecuații diferențiale de ordinul întâi.
Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi al formei.
Să notăm câteva exemple de astfel de telecomandă 
.
Ecuații diferențiale 
poate fi rezolvată în raport cu derivata împărțind ambele părți ale egalității la f(x) . În acest caz, ajungem la o ecuație care va fi echivalentă cu cea inițială pentru f(x) ≠ 0. Exemple de astfel de ODE sunt .
Dacă există valori ale argumentului x la care funcțiile f(x) și g(x) dispar simultan, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare pentru ecuație 
dat x sunt orice funcții definite pentru aceste valori de argument. Exemple de astfel de ecuații diferențiale includ:
Ecuații diferențiale de ordinul doi.
Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
LDE cu coeficienți constanți este un tip foarte comun de ecuație diferențială. Soluția lor nu este deosebit de dificilă. În primul rând, se găsesc rădăcinile ecuației caracteristice 
. Pentru diferite p și q, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale și diferite, reale și coincide 
sau conjugate complexe. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, soluția generală a ecuației diferențiale se scrie ca 
, sau 
, sau respectiv.
De exemplu, luați în considerare o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt k 1 = -3 și k 2 = 0. Rădăcinile sunt reale și diferite, prin urmare, soluția generală a unei LODE cu coeficienți constanți are forma
Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Soluția generală a unui LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți y se caută sub forma sumei soluției generale a LDDE corespunzătoare. 
și o soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică . Paragraful anterior este dedicat găsirii unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Și o anumită soluție este determinată fie prin metoda coeficienților nedeterminați pentru o anumită formă a funcției f(x) din partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda variației constantelor arbitrare.
Ca exemple de LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți, dăm 
Pentru a înțelege teoria și a vă familiariza cu soluții detaliate de exemple, vă oferim pe pagina ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Ecuații diferențiale liniare omogene (LODE) 
și ecuații diferențiale neomogene liniare (LNDE) de ordinul doi.
Un caz special de ecuații diferențiale de acest tip sunt LODE și LDDE cu coeficienți constanți.
Soluția generală a LODE pe un anumit segment este reprezentată de o combinație liniară a două soluții parțiale liniar independente y 1 și y 2 ale acestei ecuații, adică 
.
Principala dificultate constă tocmai în găsirea unor soluții parțiale liniar independente la o ecuație diferențială de acest tip. De obicei, anumite soluții sunt selectate din următoarele sisteme de funcții liniar independente: 
Cu toate acestea, soluțiile speciale nu sunt întotdeauna prezentate în această formă.
Un exemplu de LOD este 
.
Soluția generală a LDDE este căutată sub forma , unde este soluția generală a LDDE corespunzătoare și este soluția particulară a ecuației diferențiale inițiale. Tocmai am vorbit despre găsirea lui, dar poate fi determinat folosind metoda variației constantelor arbitrare.
Se poate da un exemplu de LNDU 
.
Ecuații diferențiale de ordin superior.
Ecuații diferențiale care permit o reducere în ordine.
Ordinea ecuației diferențiale 
, care nu conține funcția dorită și derivatele ei până la ordinul k-1, poate fi redusă la n-k prin înlocuirea .
În acest caz, ecuația diferențială inițială va fi redusă la . După găsirea soluției sale p(x), rămâne să revenim la înlocuire și să determinăm funcția necunoscută y.
De exemplu, ecuația diferențială 
după înlocuire, va deveni o ecuație cu variabile separabile, iar ordinea ei va fi redusă de la a treia la prima.
Definiţie. Ecuația formei
, funcția necunoscută și derivatele ei se numesc ecuație diferențială n-a ordine.
Definiţie. Ecuația formei
legând variabila independentă , o funcție necunoscută și derivata ei se numește ecuație diferențială de ordinul întâi.
Ordinea unei ecuații diferențiale este ordinea celei mai mari derivate incluse în această ecuație.
Definiţie. Solutie generala ecuația diferențială (2) din domeniu se numește funcție , Unde Cu– o constantă arbitrară care îndeplinește următoarele condiții:
1) pentru fiecare număr Cu funcția este o soluție a ecuației (2);
2) dacă , atunci există un număr astfel încât soluția să satisfacă condiția inițială .
Dacă soluţia generală se obţine sub formă implicită , atunci se numește integrală generală și – integrală parțială a ecuației (8).
Dacă ecuația diferențială (8) poate fi rezolvată în raport cu , atunci va lua forma:
Ecuația diferențială (9) se numește rezolvată cu privire la derivată.
Ecuația (9) este uneori scrisă ca:
Unde – funcţiile a două variabile.
teorema lui Cauchy. (Teorema existenței și unicității unei soluții la ecuația diferențială (9)). Dacă în ecuația (9) funcția și derivata ei parțială în raport cu sunt definite și continue în regiunea planului ( XOY) și este un punct arbitrar din , atunci există o soluție unică a acestei ecuații care satisface condiția inițială .
Se numește problema găsirii unei soluții la ecuația (9) cu o condiție inițială dată Problema Cauchy.
Definiţie. Decizie privată ecuația diferențială (9) numiți orice funcție , care se obţine din soluţia generală dacă unei constante arbitrare i se dă o anumită valoare.
Definiţie. O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație cu variabile separabile, dacă se poate scrie sub formă
sau , (12)
Unde – funcții specificate.
Pentru a rezolva ecuația (11), împărțim variabilele:
Sau împărțiți ambele părți (12) la :
unde
Definiţie. Ecuația sau (13) se numește ecuație cu variabile separate.
Definiţie. Funcția este numită omogen functie de dimensiune zero, daca depinde numai de raport, i.e. .
Definiţie. O ecuație diferențială omogenă este o ecuație de forma (14)
Să introducem o nouă funcție necunoscută prin punerea , sau . Diferențiând, obținem.
Să substituim în ecuația (14), să o transformăm în forma . Separând variabilele și integrând, găsim
De aici.
După efectuarea integrării, trebuie să reveniți la funcție punând .
Exemplu. Rezolvați ecuația.
Exprimând derivata, obținem sau .
Să punem. Apoi, . Înlocuind în ecuație, obținem . Unde .
Să separăm variabilele.
După integrare găsim
sau .
In sfarsit.
Definiţie. O ecuație diferențială liniară este o ecuație de formă
Să introducem două noi funcții necunoscute și , punând . Deoarece acum există două funcții necunoscute și există o singură condiție pentru aceste funcții (produsul lor trebuie să satisfacă ecuația (15)), putem impune în mod arbitrar o altă condiție acestor funcții, pe care o vom folosi mai jos.
Să înlocuim în (15),
primim
sau (16)
Ca funcție, alegem orice funcție care îndeplinește condiția. (17)
Obținem o ecuație cu variabile separabile pentru a găsi . Să integrăm această ecuație, stabilind constanta de integrare egală cu zero (cea din urmă este legală, deoarece suntem mulțumiți cu orice soluție a ecuației (17)):
Să substituim valoarea găsită în ecuația (16):
Integrând, găsim funcția: . Înmulțind funcțiile găsite și , obținem o soluție generală a ecuației (15).
Definiţie. Ecuația lui Bernoulli este o ecuație de formă
Unde m– orice număr real. Această ecuație este rezolvată folosind aceeași tehnică ca o ecuație liniară.
Definiţie. Ecuaţie
se numește ecuație diferențială totală dacă partea stângă este diferența totală a unei funcții. În acest caz, ecuația (18) poate fi rescrisă ca . Integrala generală a ecuației (18) va fi
Teorema. Fie ca funcțiile să aibă derivate parțiale continue într-un anumit domeniu ( D) avion ( XOY). Pentru ca o expresie să fie o diferență completă a unei funcții, este necesar și suficient ca în toate punctele regiunii ( D) egalitatea este valabilă
Să fie dată ecuația (18) pentru care condiția (20) este îndeplinită. Aceasta din urmă înseamnă că există o funcție astfel încât
Pentru a rezolva ecuația (18), este necesar, pe baza egalităților (21), să găsiți funcția și să scrieți integrala generală a ecuației (18) sub forma (19).
Exemplu. Găsiți o soluție a ecuației care îndeplinește condiția.
Avem: , .
Să găsim și:
Astfel, i.e. există o funcţie astfel încât
Pentru a găsi, integrăm peste x prima dintre egalități (22):
Aici funcția necunoscută joacă rolul constantei de integrare. Pentru a găsi, diferențiem (23) în raport cu y:
Pe de altă parte, din (22) avem Din aceste două egalități obținem sau .
De aici. (24)
Înlocuind în (24), obținem, conform (19), integrala generală a acestei ecuații sub forma .
Comentariu. Deoarece, conform (19), funcția este echivalată cu o constantă arbitrară, atunci când se realizează integrarea (24), constanta de integrare nu trebuie scrisă.
Ecuații diferențiale de ordinul întâi
Caracteristicile ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi
Când se rezolvă ecuații de ordinul întâi, funcția y și variabila x trebuie considerate egale. Adică, soluția poate fi sub forma și sub forma .
Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu derivata
Ecuații separabile
Ecuații care se reduc la ecuații separabile
Ecuații omogene
Ecuații care se reduc la omogene
Ecuații omogene generalizate
Ecuații diferențiale liniare
- Linear în y
- Linear în f(y)
- Linear în x
- Linear în f(x)
ecuațiile lui Bernoulli
Ecuații Riccati
Ecuații Jacobi
Ecuații în diferențiale totale
dat fiind
Factorul integrator
Dacă o ecuație diferențială de ordinul întâi nu poate fi redusă la niciunul dintre tipurile enumerate, atunci ar trebui să încercați să găsiți un factor de integrare pentru a o reduce la o ecuație în diferențiale complete.
Ecuații nerezolvate pentru derivata y′
Ecuații care pot fi rezolvate în raport cu derivata y′
Mai întâi trebuie să încercați să rezolvați ecuația în raport cu derivata y′.
Dacă este posibil, ecuația poate fi redusă la unul dintre tipurile enumerate mai sus.
Ecuații care pot fi factorizate
Ecuații care nu conțin x și y
Ecuații care nu conțin x sau y
Sau
Ecuații rezolvate pentru y
Ecuații Clairaut
Ecuații Lagrange
Ecuații diferențiale de ordin superior
Ecuații diferențiale care permit reducerea ordinii
Ecuații rezolvate prin integrare directă
Ecuații care nu conțin y
Ecuații care nu conțin x
Ecuații omogene în raport cu y, y′, y′′, ...
Ecuații liniare neomogene cu o parte neomogenă specială
,
unde sunt polinoame de grade și .
ecuațiile lui Euler
Literatura folosita:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.
Instrucţiuni
Dacă ecuația este prezentată sub forma: dy/dx = q(x)/n(y), clasifică-le ca ecuații diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențiale astfel: n(y)dy = q(x)dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui dy/dx = x/y, obținem q(x) = x, n(y) = y. Scrie-l sub forma ydy = xdx și integrează. Ar trebui să fie y^2 = x^2 + c.
Ecuațiile liniare includ ecuațiile „primului”. O funcție necunoscută cu derivatele sale intră într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Liniara are forma dy/dx + f(x) = j(x), unde f(x) si g(x) sunt functii dependente de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.
Vă rugăm să rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuații de ordinul doi (conțin derivate secunde De exemplu, ecuația mișcării armonice simple este scrisă în formă generală: md 2x/dt 2 = –kx). Astfel de ecuații au, în , soluții speciale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de clasă destul de importantă: ecuațiile diferențiale liniare care au un coeficient constant.
Luați în considerare un exemplu mai general (de ordinul doi): o ecuație în care y și z sunt date constante, f(x) este o funcție dată. Ecuații similare pot fi rezolvate în moduri diferite, de exemplu, folosind o transformare integrală. Același lucru se poate spune despre ecuațiile liniare de ordin superior care au coeficienți constanți.
Vă rugăm să rețineți că ecuațiile care conțin funcții necunoscute, precum și derivatele lor la puteri mai mari decât prima, se numesc neliniare. Soluțiile ecuațiilor neliniare sunt destul de complexe și, prin urmare, fiecare dintre ele are propriul său caz special.
Surse:
- tipuri de ecuații diferențiale
Studierea unui curs de calcul diferențial începe întotdeauna cu elaborarea ecuațiilor diferențiale. În primul rând, luăm în considerare câteva probleme fizice, a căror soluție matematică produce inevitabil derivate de diverse ordine. Ecuațiile care conțin un argument, funcția dorită și derivatele acesteia se numesc diferențiale.
vei avea nevoie
- - stilou;
- - hârtie.
Instrucţiuni
În problemele fizice inițiale, argumentul este cel mai adesea t. Principiul general compilarea unei ecuații diferențiale (DE) este că la incremente mici ale argumentului funcțiile aproape nu se schimbă, ceea ce face posibilă înlocuirea incrementelor funcției cu diferențele lor. Dacă în formularea problemei vorbim despre modificarea oricărui parametru, atunci urmează imediat derivata parametrului (cu semnul minus dacă un parametru scade).
Dacă integralele apar în procesul de raționament și calcule, ele pot fi eliminate prin diferențiere. Și, în cele din urmă, există mai mult decât suficiente derivate în formulele fizice. Cel mai important lucru este să luați în considerare cât mai multe exemple, care în acest proces trebuie aduse la etapa de elaborare a unui document de management.
Soluţie. Fie tensiunea de intrare U(t) și tensiunea de ieșire dorită u(t) (vezi Fig. 1).
Tensiunea de intrare constă din suma ieșirii u(t) și căderea de tensiune pe rezistențele R - Ur(t).
U(t)=Ur(t)+Uc(t); conform legii lui Ohm Ur(t)=i(t)R, i(t)=C(dUc/dt). Pe de altă parte, Uc(t)=u(t) și i(t) este curentul circuitului (inclusiv în condensatorul C). Aceasta înseamnă i=C(du/dt), Ur=RC(du/dt). Apoi echilibrul de tensiune din circuitul electric poate fi rescris ca: U=RC(du/dt)+u. Rezolvând această ecuație pentru prima derivată, avem:
u’(t)=-(1/RC)u(t)+(1/RC)U(t).
Acesta este un DE de prim ordin. Soluția problemei va fi soluția generală (ambiguă). Pentru a obține o soluție unică, este necesar să se stabilească condițiile inițiale (limită) sub forma u(0)=u0.
Exemplul 2. Aflați ecuația unui oscilator armonic.
Soluţie. Un oscilator armonic (circuit oscilator) este elementul principal al dispozitivelor de transmisie și recepție radio. Este închis circuit electric, care conține capacitatea C (condensator) și inductanța L (bobină) conectate în paralel. Se știe că curenții și tensiunile pe astfel de elemente reactive sunt legate de egalitățile Iс=C(dUc/dt)=CU’c,
Ul=-L(dIl/dt)=-LI’l . Deoarece în această problemă toate tensiunile și toți curenții sunt la fel, apoi în cele din urmă
I''+(1/LC)I=0.
Se obține un DE de ordinul doi.
Video pe tema
Este necesar să se determine tipul de ecuație diferențială pentru a selecta o metodă de soluție adecvată fiecărui caz. Clasificarea tipurilor este destul de mare, iar soluția se bazează pe metode de integrare.
Instrucţiuni
Necesitatea ecuațiilor diferențiale apare atunci când , dar ea însăși rămâne o cantitate necunoscută. Această situație apare adesea în cercetarea fizică. Proprietățile unei funcții sunt descrise de derivatele sau diferențialele sale, deci singura modalitate de a o găsi este integrarea. Înainte de a continua cu soluția, trebuie să determinați tipul de ecuație diferențială.
Există mai multe ecuații diferențiale, dintre care cea mai simplă este expresia y' = f(x), unde y' = dу/dх. În plus, egalitatea f(x) y’ = g(x) poate fi redusă la această formă, adică. y' = g(x)/f(x). Desigur, acest lucru este posibil numai dacă f(x) nu dispare. Exemplu: 3^x y’ = x² – 1 → y’ = (x² - 1)/3^x.
Ecuațiile diferențiale cu variabile separate se numesc așa deoarece derivata y' în acest caz este împărțită literal în două componente dу și dх, care se găsesc conform laturi diferite din semnul egal. Acestea sunt ecuații de forma f(y) dу = g(x) dx. Exemplu: (y² – sin y) dу = tan x/(x - 1) dx.
Ecuație diferențială (DE)
- aceasta este ecuația,
unde sunt variabilele independente, y este funcția și sunt derivatele parțiale.
Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație diferențială care are o singură variabilă independentă, .
Ecuație cu diferență parțială este o ecuație diferențială care are două sau mai multe variabile independente.
Cuvintele „ordinare” și „derivate parțiale” pot fi omise dacă este clar ce ecuație este luată în considerare. În cele ce urmează, sunt luate în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite.
Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate.
Iată un exemplu de ecuație de ordinul întâi:
Iată un exemplu de ecuație de ordinul al patrulea:
Uneori, o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termeni de diferențe:
În acest caz, variabilele x și y sunt egale. Adică, variabila independentă poate fi fie x, fie y.
În primul caz, y este o funcție a lui x.
.
În al doilea caz, x este o funcție a lui y.
.
Dacă este necesar, putem reduce această ecuație la o formă care include în mod explicit derivata y′.
Derivatele funcțiilor elementare sunt exprimate prin funcții elementare. Integralele funcțiilor elementare nu sunt adesea exprimate în termeni de funcții elementare. Cu ecuațiile diferențiale situația este și mai proastă. Ca rezultat al soluției, puteți obține:
- dependența explicită a unei funcții de o variabilă;
Rezolvarea unei ecuații diferențiale este funcția y = u (x), care este definit, de n ori diferențiabil și .
- dependenta implicita sub forma unei ecuatii de tip Φ (x, y) = 0 sau sisteme de ecuații;
Integrală a unei ecuații diferențiale este o soluție a unei ecuații diferențiale care are o formă implicită.
- dependența exprimată prin funcții elementare și integrale din acestea;
Rezolvarea unei ecuații diferențiale în pătraturi - aceasta este găsirea unei soluții sub forma unei combinații de funcții elementare și integrale ale acestora.
- soluţia poate să nu fie exprimată prin funcţii elementare.
Deoarece rezolvarea ecuațiilor diferențiale se reduce la calcularea integralelor, soluția include o mulțime de constante C 1, C 2, C 3, ... C n. Numărul de constante este egal cu ordinea ecuației. Integrală parțială a unei ecuații diferențiale
Literatura folosita:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.