VKontakte: Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul dat.
număr complex
Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:
Exemplul 1
Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.
Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.
Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$
Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$
Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
Definiția 2
Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.
Nota 1
- Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.
Exemplul 2
Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.
1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică
$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.
2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.
Exemplul 3
Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:
Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale
\ \
1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.
3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.
4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.
Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]
În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a
sau rezolvarea unui sistem de ecuații
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.
Exemplul 4
Calculați argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]
Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):
\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(matrice)\right .\]
Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.
Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]
Nota 2
Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, adică. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.
Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.
număr complex
Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:
Exemplul 1
Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.
Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.
Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$
Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$
Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
Definiția 2
Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.
Nota 1
- Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.
Exemplul 2
Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.
1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică
$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.
2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.
Exemplul 3
Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:
Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale
\ \
1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.
3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.
4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.
Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]
În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a
sau rezolvarea unui sistem de ecuații
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.
Exemplul 4
Calculați argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]
Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):
\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(matrice)\right .\]
Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.
Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]
Nota 2
Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, adică. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.
Corespunzător acestui număr: .
Modulul unui număr complex z este de obicei notat | z|
sau r.
Fie și să fie numere reale astfel încât un număr complex (notație obișnuită). Apoi
Fundația Wikimedia.
2010. Vedeți ce este „Modulul unui număr complex” în alte dicționare:
modulul unui număr complex - kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulul numărului complex vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. modulul unui număr complex, m pranc. module du nombre complex, m … Fizikos terminų žodynas
- (modul) Mărimea unui număr în termeni de distanță de la 0. Modulul, sau valoarea absolută a unui număr real x (notat cu |x|), este diferența dintre x și 0, indiferent de semn. Prin urmare, dacă x0, atunci |x|=x și dacă x 0, atunci |x|=–x... Dicționar economic
Pentru un număr complex, consultați Valoare absolută. Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab...
Dicţionar enciclopedic mare Valoarea absolută sau modulul unui număr real sau complex x este distanța de la x la origine. Mai precis: Valoarea absolută a unui număr real x este un număr nenegativ, notat cu |x| și definit după cum urmează: ... ... Wikipedia Modul de matematică, 1) M. (or
valoare absolută ) al unui număr complex z = x + iy este numărul ═ (rădăcina se ia cu semnul plus). Când se reprezintă un număr complex z în formă trigonometrică z = r(cos j + i sin j), numărul real r este egal cu... ..., inclus în limba rusă. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) un număr care se înmulțește... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
MODUL al unui număr complex, vezi Valoare absolută (vezi VALOARE ABSOLUTĂ). Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic
I Modul (din latină modulus measure) în arhitectură, o unitate convențională adoptată pentru a coordona dimensiunile părților unei clădiri sau complex. În arhitectura diferitelor națiuni, în funcție de caracteristicile tehnologiei de construcție și de compoziția clădirilor din spatele M.... ... Marea Enciclopedie Sovietică
eu; m. [din lat. măsura modulului] 1. de ce. Specialist. O cantitate care o caracterizează l. proprietate solid. M. compresie. M. elasticitate. 2. Matematică. Număr real, valoarea absolută a unui număr negativ sau pozitiv. M. număr complex. M... Dicţionar enciclopedic
Caracteristicile numerice ale oricărui matematic obiect. De obicei, valoarea lui M este un număr real nenegativ, un element care are anumite caracteristici. proprietăţi determinate de proprietăţile mulţimii de obiecte luate în considerare. Conceptul de M.... ... Enciclopedie matematică
Un număr complex este un număr de forma z =x + i * y, unde x și y sunt reale numereși i = unitate imaginară (adică un număr al cărui pătrat este -1). Pentru a defini conceptul argument cuprinzătoare numere, este necesar să se ia în considerare un număr complex pe plan complex în sistemul de coordonate polare.
Instrucţiuni
Planul pe care sunt reprezentate complexe complexe numere, se numește complex. Pe acest plan, axa orizontală este ocupată de real numere(x), iar axa verticală este imaginară numere(y). Pe un astfel de plan, numărul este dat de două coordonate z = (x, y). În sistemul de coordonate polare, coordonatele unui punct sunt modulul și argumentul. Modulul este distanța |z| de la un punct la origine. Argumentul este unghiul dintre vectorul care leagă punctul și originea și axa orizontală a sistemului de coordonate (vezi figura).
Figura arată că modulul complex numere z = x + i * y se găsește folosind teorema lui Pitagora: |z| = ? (x^2 + y^2). Următorul argument numere z se găsește ca unghi ascuțit triunghi - prin valorile funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.
De exemplu, să fie dat numărul z = 5 * (1 + ?3 * i). În primul rând, selectați părțile reale și imaginare: z = 5 +5 * ?3 * i. Rezultă că partea reală este x = 5, iar partea imaginară este y = 5 * ?3. Calculați modulul numere: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Apoi, găsiți sinusul unghiului: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Acest lucru dă argumentul numere z este egal cu 30°.
Exemplul 2. Fie dat numărul z = 5 * i. Figura arată că unghiul = 90°. Verificați această valoare folosind formula dată mai sus. Notați coordonatele acestuia numere pe plan complex: z = (0, 5). Modul numere|z| = 5. Tangenta unghiului tg = 5 / 5 = 1. Rezultă că = 90°.
Exemplul 3. Să fie necesar să găsim argumentul sumei a două numere complexe z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Conform regulilor de adăugare, adăugați aceste două complexe numere: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Apoi, folosind diagrama de mai sus, calculați argumentul: tg = 9 / 3 = 3.