Apropo de matematică, nu se poate să nu-ți amintești fracțiile. Ei dedică mult timp și atenție studiului lor. Amintește-ți câte exemple ai avut de rezolvat pentru a învăța anumite reguli de lucru cu fracțiile, cum ai memorat și aplicat proprietatea de bază a unei fracții. Câți nervi s-au cheltuit pentru a găsi numitorul comun, mai ales dacă în exemple erau mai mult de doi termeni!
Să ne amintim ce este și să ne reîmprospătăm puțin memoria informațiile de bază și regulile de lucru cu fracții.
Definirea fracțiilor
Să începem cu cel mai important lucru - definițiile. O fracție este un număr care este format din una sau mai multe părți ale unuia. Un număr fracționar este scris ca două numere separate prin orizontală sau oblică. În acest caz, cel de sus (sau primul) se numește numărător, iar cel de jos (al doilea) este numit numitor.
Este de remarcat faptul că numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea, iar numărătorul este numărul de părți sau părți luate. Fracțiile, dacă sunt corecte, sunt adesea mai mici de unu.
Acum să ne uităm la proprietățile acestor numere și la regulile de bază care sunt folosite atunci când lucrați cu ele. Dar înainte de a analiza un astfel de concept ca fiind „proprietatea principală a unei fracții raționale”, să vorbim despre tipurile de fracții și despre caracteristicile lor.
Care sunt fracțiile
Există mai multe tipuri de astfel de numere. În primul rând, acestea sunt obișnuite și zecimale. Primele reprezintă tipul de înregistrare deja indicat de noi folosind o orizontală sau o oblică. Al doilea tip de fracții este indicat folosind așa-numita notație pozițională, atunci când este indicată mai întâi partea întreagă a numărului, iar apoi, după virgulă, este indicată partea fracțională.
Este demn de remarcat aici că în matematică, atât fracțiile zecimale, cât și fracțiile ordinare sunt folosite în același mod. Proprietatea principală a fracției este valabilă doar pentru a doua opțiune. În plus, numerele corecte și incorecte se disting în fracțiile obișnuite. Pentru primul, numărătorul este întotdeauna mai mic decât numitorul. De asemenea, rețineți că o astfel de fracție este mai mică de unu. Într-o fracție neregulată, dimpotrivă, numărătorul este mai mare decât numitorul și el însuși este mai mare decât unu. În acest caz, un număr întreg poate fi extras din acesta. În acest articol, vom lua în considerare doar fracțiile obișnuite.
Proprietățile fracțiunii
Orice fenomen, chimic, fizic sau matematic, are propriile caracteristici și proprietăți. Numerele fracționale nu au făcut excepție. Au o caracteristică importantă, cu ajutorul căreia se pot efectua anumite operațiuni asupra lor. Care este proprietatea principală a unei fracții? Regula spune că dacă numărătorul și numitorul lui sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr rațional, obținem o nouă fracție, a cărei valoare va fi egală cu valoarea celei inițiale. Adică, înmulțind cele două părți ale numărului fracționar 3/6 cu 2, obținem o nouă fracție 6/12, în timp ce acestea vor fi egale.
Pe baza acestei proprietăți, puteți reduce fracțiile, precum și selectați numitori comuni pentru o anumită pereche de numere.
Operațiuni
Deși fracțiile sunt mai complexe pentru noi, puteți efectua și operații matematice de bază, cum ar fi adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea în comparație cu acestea. În plus, există o acțiune specifică precum reducerea fracțiilor. Desigur, fiecare dintre aceste acțiuni este efectuată conform anumitor reguli. Cunoașterea acestor legi facilitează lucrul cu fracții, îl face mai ușor și mai interesant. De aceea, vom lua în considerare în continuare regulile de bază și un algoritm de acțiuni atunci când lucrăm cu astfel de numere.
Dar înainte de a vorbi despre astfel de operații matematice precum adunarea și scăderea, să examinăm o astfel de operație ca reducerea la un numitor comun. Aici ne este utilă cunoașterea proprietății de bază a unei fracții.
Numitor comun
Pentru a aduce un număr la un numitor comun, mai întâi trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al celor doi numitori. Adică cel mai mic număr care este divizibil simultan cu ambii numitori fără rest. Cel mai simplu mod de a găsi LCM (cel mai mic multiplu comun) este să scrieți într-o linie pentru un numitor, apoi pentru al doilea și să găsiți numărul potrivit dintre ele. În cazul în care nu se găsește LCM, adică aceste numere nu au un multiplu comun, ele trebuie înmulțite, iar valoarea rezultată ar trebui considerată LCM.
Deci, am găsit LCM, acum trebuie să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți alternativ LCM în numitorii fracțiilor și să scrieți numărul rezultat peste fiecare dintre ele. Apoi, ar trebui să înmulțiți numărătorul și numitorul cu factorul suplimentar rezultat și să scrieți rezultatele ca o nouă fracție. Dacă vă îndoiți că numărul primit este egal cu cel anterior, amintiți-vă de proprietatea de bază a unei fracții.
Plus
Acum să trecem direct la operații matematice pe numere fracționale. Să începem cu cel mai simplu. Există mai multe opțiuni pentru a adăuga fracții. În primul caz, ambele numere au același numitor. În acest caz, rămâne doar să adunăm numărătorii. Dar numitorul nu se schimbă. De exemplu, 1/5 + 3/5 = 4/5.
Dacă fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le aduceți la unul comun și abia apoi să adăugați. Cum să facem asta, am rezolvat puțin mai sus. În această situație, proprietatea de bază a fracției va fi utilă. Regula vă va permite să aduceți numerele la un numitor comun. Acest lucru nu schimbă în niciun fel valoarea.
Alternativ, se poate întâmpla ca fracția să fie amestecată. Apoi ar trebui să adăugați mai întâi părțile întregi și apoi părțile fracționale.
Multiplicare
Nu necesită trucuri, iar pentru a efectua această acțiune nu este necesar să cunoașteți proprietatea de bază a fracției. Este suficient să înmulțiți mai întâi numărătorii și numitorii împreună. În acest caz, produsul numărătorilor va deveni noul numărător, iar numitorii vor deveni noul numitor. După cum puteți vedea, nimic complicat.
Singurul lucru care ți se cere este cunoașterea tabelului înmulțirii, precum și atenție. În plus, după obținerea rezultatului, este imperativ să verificați dacă acest număr poate fi redus sau nu. Vom vorbi despre cum să reducem fracțiile puțin mai târziu.
Scădere
Performanța ar trebui să fie ghidată de aceleași reguli ca atunci când adăugați. Deci, în numerele cu același numitor, este suficient să scădem numărătorul scăderii din numărătorul redusului. În cazul în care fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le aduceți la unul comun și apoi să executați această operațiune... Ca și în cazul similar cu adăugarea, va trebui să utilizați proprietatea de bază a unei fracții algebrice, precum și abilitățile de a găsi LCM și factori comuni pentru fracții.
Divizia
Iar ultima, cea mai interesantă operație atunci când lucrați cu astfel de numere este împărțirea. Este destul de simplu și nu provoacă dificultăți deosebite, chiar și pentru cei care sunt slab versați în modul de lucru cu fracțiile, în special, efectuează operații de adunare și scădere. La împărțire, există o regulă precum înmulțirea cu reciprocă. Proprietatea de bază a unei fracții, ca și în cazul înmulțirii, nu va fi folosită pentru această operație. Să aruncăm o privire mai atentă.
La împărțirea numerelor, dividendul rămâne neschimbat. Fracția divizor este inversată, adică numărătorul și numitorul sunt inversate. După aceea, numerele sunt înmulțite între ele.
Reducere
Deci, am analizat deja definiția și structura fracțiilor, tipurile lor, regulile pentru operații pe numere date și am clarificat principala proprietate a unei fracții algebrice. Acum să vorbim despre o astfel de operațiune precum reducerea. Reducerea unei fracții este procesul de transformare a acesteia - împărțirea numărătorului și numitorului la același număr. Astfel, fracția este redusă fără a-și modifica proprietățile.
De obicei, atunci când efectuați o operație matematică, ar trebui să priviți cu atenție rezultatul obținut în final și să aflați dacă este posibil să reduceți sau nu fracția rezultată. Amintiți-vă că rezultatul final este întotdeauna scris cu un număr fracționar neabreviat.
Alte operațiuni
În sfârșit, observăm că nu am enumerat toate operațiile pe numere fracționale, menționându-le doar pe cele mai cunoscute și necesare. Fracțiile pot fi, de asemenea, egalizate, convertite în zecimal și invers. Dar în acest articol nu am luat în considerare aceste operații, deoarece în matematică ele sunt efectuate mult mai rar decât cele pe care le-am dat mai sus.
concluzii
Am vorbit despre numere fracționale și despre operații cu ele. Am analizat și proprietatea principală, dar să observăm că toate aceste întrebări au fost luate în considerare de noi în treacăt. Am dat doar cele mai cunoscute și folosite reguli, am dat cele mai importante, în opinia noastră, sfaturi.
Acest articol are scopul de a reîmprospăta informațiile pe care le-ați uitat despre fracții mai degrabă decât de a oferi informații noi și de a vă „umple” capul cu reguli și formule nesfârșite care, cel mai probabil, nu vă vor fi de folos.
Sperăm că materialul prezentat în articol într-o manieră simplă și concisă v-a devenit util.
Această lecție va discuta proprietatea de bază a unei fracții algebrice. Capacitatea de a aplica corect și fără erori această proprietate este una dintre cele mai importante abilități de bază din întregul curs de matematică școlară și va fi întâlnită nu numai pe parcursul studiului acestei teme, ci și în aproape toate secțiunile de matematică studiate în viitor. . Reducerea fracțiilor obișnuite a fost deja studiată, iar în această lecție vom lua în considerare reducerea fracțiilor raționale. În ciuda diferenței externe destul de mari care există între fracțiile raționale și obișnuite, ele au multe în comun, și anume, atât fracțiile obișnuite, cât și cele raționale au aceeași proprietate de bază și reguli generale efectuarea de operații aritmetice. În cadrul lecției, vom întâlni conceptele: reducerea unei fracții, înmulțirea și împărțirea numărătorului și numitorului cu aceeași expresie - și luăm în considerare exemple.
Să ne amintim principalul proprietatea fracțiunii: Valoarea unei fracții nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți sau împărțiți simultan cu același număr diferit de zero. Amintiți-vă că împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la același număr diferit de zero se numește reducere.
De exemplu:, în timp ce valoarea fracțiilor nu se modifică. Cu toate acestea, se fac multe greșeli comune atunci când utilizați această proprietate:
1) 
- în exemplul dat, s-a făcut o eroare în împărțirea unui singur termen de la numărător la 2, și nu a întregului numărător. Secvența corectă de acțiuni arată astfel: 
sau 
.
2) 
- aici vedem o eroare asemanatoare insa, pe langa aceasta, ca urmare a impartirii, s-a obtinut 0, nu 1, ceea ce este o eroare si mai frecventa si grosolana.
Acum trebuie să treceți la considerare fracție algebrică... Să ne amintim acest concept din lecția anterioară.
Definiție.Fracție rațională (algebrică).- expresia fracționată a formei, unde sunt polinoame. - numărătorul numitor.
Fracțiile algebrice sunt, într-un sens, o generalizare a fracțiilor ordinare și se pot efectua aceleași operații asupra lor ca și asupra fracțiilor obișnuite.
Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții pot fi înmulțiți și împărțiți la același polinom (monom) sau un număr diferit de zero. Aceasta va fi transformarea identică a unei fracții algebrice. Reamintim că, ca și mai înainte, împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la aceeași expresie diferită de zero se numește reducere.
Proprietatea de bază a unei fracții algebrice vă permite să reduceți fracțiile și să le aduceți la cel mai mic numitor comun.
Pentru a reduce fracțiile comune, am recurs la teorema fundamentală a aritmeticii, a extins atât numărătorul cât și numitorul în factori primi.
Definiție.număr prim- un număr natural care este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Toate celelalte numere naturale se numesc numere compuse. 1 nu este nici prim, nici compus.
Exemplul 1. a), unde factorii în care se descompun numărătorii și numitorii fracțiilor indicate sunt numere prime.
Răspuns.; .
Prin urmare, pentru reducerea fracțiilor este necesar să factorizați mai întâi numărătorul și numitorul fracției, apoi împărțiți-le la factori comuni. Acestea. ar trebui să fie priceput în metodele de factorizare a polinoamelor.
Exemplul 2. Reduceți fracția a) , b), c).
Soluţie. A)
... Trebuie remarcat faptul că numărătorul conține un pătrat complet, iar numitorul conține diferența de pătrate. După reducere, este necesar să se indică faptul că, pentru a evita împărțirea la zero.
b) 
... Numitorul este factorul numeric comun, care este util în aproape orice caz atunci când este posibil. În mod similar cu exemplul anterior, indicăm că.
v) 
... În numitor, scoatem minusul (sau, formal,) în afara parantezei. Nu uitați asta atunci când scurtați.
Răspuns.;; .
Acum vom da un exemplu de reducere la un numitor comun, acest lucru se face în același mod cu fracțiile obișnuite.
Exemplul 3.
Soluţie. Pentru a găsi cel mai mic numitor comun, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun (NOC) doi numitori, i.e. LCM (3; 5). Cu alte cuvinte, găsiți cel mai mic număr care este divizibil cu 3 și 5 în același timp. Evident, acest număr este 15, îl puteți scrie astfel: LCM (3; 5) = 15 - acesta va fi numitorul comun al acestor fracții.
Pentru a converti numitorul de la 3 la 15, acesta trebuie înmulțit cu 5, iar pentru a converti 5 la 15, acesta trebuie înmulțit cu 3. Prin proprietatea de bază a unei fracții algebrice, înmulțiți cu aceleași numere și numărătorii corespunzători ai celor indicate. fractii.
Răspuns.; .
Exemplul 4. Reduceți fracția și la un numitor comun.
Soluţie. Să efectuăm acțiuni similare cu exemplul anterior. Cel mai mic multiplu comun al numitorilor LCM (12; 18) = 36. Să aducem ambele fracții la acest numitor:
și 
.
Răspuns.; .
Acum să ne uităm la exemple care demonstrează utilizarea tehnicii de reducere a fracțiilor pentru a le simplifica în cazuri mai complexe.
Exemplul 5. Calculați valoarea fracției: a), b), c).
A) . Când abreviam, folosim regula împărțirii gradelor.
După ce am repetat folosirea proprietatea de bază a unei fracții obișnuite, putem continua să luăm în considerare fracțiile algebrice.
Exemplul 6. Simplificați fracția și calculați pentru valorile date ale variabilelor: a); 
, b); 
Soluţie. Când abordați o soluție, este posibilă următoarea opțiune - înlocuiți imediat valorile variabilelor și începeți să calculați fracția, dar în acest caz soluția devine mult mai complicată și timpul necesar pentru a o rezolva crește, ca să nu mai vorbim de pericol. de a greși în calcule complexe. Prin urmare, este convenabil să simplificați mai întâi expresia în formă literală și apoi să înlocuiți valorile variabilelor.
A) . Când se anulează printr-un factor, este necesar să se verifice dacă dispare în valorile specificate ale variabilelor. Când înlocuim, obținem că face posibilă reducerea cu un anumit factor.
b). Scoatem minusul la numitor, așa cum am făcut deja în exemplu 2... Când reducem cu, verificăm din nou dacă nu împărțim la zero:.
Răspuns.; .
Exemplul 7. Aduceți fracțiile a) și, b) și, c) și la un numitor comun.
Soluţie. a) În acest caz, vom aborda soluția astfel: nu vom folosi conceptul de LCM, ca în al doilea exemplu, ci pur și simplu înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și invers - aceasta va permiteți-ne să aducem fracțiile la același numitor. Desigur, nu uitați să înmulțiți numărătorii fracțiilor cu aceleași expresii.
.
Parantezele au fost deschise în numărător, iar formula pentru diferența de pătrate a fost folosită la numitor.
... Acțiuni similare.
Se poate observa că această metodă vă permite să înmulțiți numitorul și numărătorul unei fracții cu acel element de la numitorul celei de-a doua fracții, ceea ce nu este suficient. Cu cealaltă fracție se efectuează acțiuni similare, iar numitorii se reduc la unul comun.
b) Să facem aceleași acțiuni ca în paragraful anterior:
... Să înmulțim numărătorul și numitorul cu elementul numitorului celei de-a doua fracții, ceea ce nu a fost suficient (în acest caz, întregul numitor).
... De asemenea.
v) 
... În acest caz, am înmulțit cu 3 (un factor care este prezent în numitorul celei de-a doua fracții și este absent în prima).
.
Răspuns. A) ; , b); , v); ...
În această lecție, am învățat proprietatea de bază a unei fracții algebriceși a luat în considerare principalele sarcini cu utilizarea sa. În lecția următoare, vom analiza mai detaliat reducerea fracțiilor la un numitor comun folosind formulele de înmulțire abreviate și metoda de grupare la factorizare.
Bibliografie
- Bashmakov M.I. Algebră clasa a 8-a. - M .: Educație, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. si altele.Algebra 8. - Ed. a V-a. - M .: Educație, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră clasa a 8-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. - M .: Educație, 2006.
- Examen de stat unificat la matematică ().
- Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
- Matematica la scoala: Planuri de lecții ().
Teme pentru acasă
Fracțiile unei unități și este reprezentată ca \ frac (a) (b).
Numărătorul fracțiilor (a)- numărul de deasupra liniei fracției și care arată numărul de fracții la care a fost împărțită unitatea.
Numitorul fracției (b)- numărul de sub linia fracției și care arată cu câte fracții a fost împărțită unitatea.
Ascundeți afișarea
Proprietatea de bază a fracției
Dacă ad = bc, atunci două fracții \ frac (a) (b)și \ frac (c) (d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \ frac35și \ frac (9) (15), deoarece 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9, \ frac (12) (7)și \ frac (24) (14) deoarece 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24.
Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile \ frac (a) (b)și \ frac (am) (bm), deoarece a (bm) = b (am) este un exemplu clar de aplicare a proprietăților combinaționale și de deplasare ale înmulțirii numerelor naturale în acțiune.
Mijloace \ frac (a) (b) = \ frac (am) (bm)- arată ca proprietatea de baza a fractiei.
Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.
Reducerea fracțiilor Este procesul de înlocuire a unei fracții, în care se obține o nouă fracție egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.
Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății de bază a unei fracții.
De exemplu, \ frac (45) (60) = \ frac (15) (20)(numătorul și numitorul sunt divizibile cu numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \ frac (15) (20) = \ frac 34.
Fracție ireductibilă Este o fracțiune din formă \ frac 34 unde numărătorul și numitorul sunt numere prime relativ. Scopul principal al reducerii unei fracții este de a face fracția ireductibilă.
Numitorul comun al fracțiilor
Să luăm ca exemplu două fracții: \ frac (2) (3)și \ frac (5) (8) cu numitori diferiți 3 și 8. Pentru a aduce aceste fracții la un numitor comun și înmulți mai întâi numărătorul și numitorul fracției \ frac (2) (3) la 8. Obtinem urmatorul rezultat: \ frac (2 \ cdot 8) (3 \ cdot 8) = \ frac (16) (24)... Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției \ frac (5) (8) de 3. Ca rezultat, obținem: \ frac (5 \ cdot 3) (8 \ cdot 3) = \ frac (15) (24)... Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun de 24.
Operații aritmetice pe fracții obișnuite
Adunarea fracțiilor obișnuite
a) Cu aceiași numitori, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum puteți vedea în exemplu:
\ frac (a) (b) + \ frac (c) (b) = \ frac (a + c) (b);
b) Pentru numitori diferiți, fracțiile conduc mai întâi la un numitor comun, apoi se adună numărătorii conform regulii a):
\ frac (7) (3) + \ frac (1) (4) = \ frac (7 \ cdot 4) (3) + \ frac (1 \ cdot 3) (4) = \ frac (28) (12) + \ frac (3) (12) = \ frac (31) (12).
Scăderea fracțiilor comune
a) Cu aceiași numitori, numărătorul celei de-a doua fracții se scade din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:
\ frac (a) (b) - \ frac (c) (b) = \ frac (a-c) (b);
b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile conduc la un numitor comun, apoi repetați pașii ca la punctul a).
Înmulțirea fracțiilor ordinare
Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:
\ frac (a) (b) \ cdot \ frac (c) (d) = \ frac (a \ cdot c) (b \ cdot d),
adică numărătorii și numitorii se înmulțesc separat.
De exemplu:
\ frac (3) (5) \ cdot \ frac (4) (8) = \ frac (3 \ cdot 4) (5 \ cdot 8) = \ frac (12) (40).
Împărțirea fracțiilor ordinare
Fracțiile sunt împărțite în felul următor:
\ frac (a) (b): \ frac (c) (d) = \ frac (ad) (bc),
adica o fractiune \ frac (a) (b) inmultit cu o fractiune \ frac (d) (c).
Exemplu: \ frac (7) (2): \ frac (1) (8) = \ frac (7) (2) \ cdot \ frac (8) (1) = \ frac (7 \ cdot 8) (2 \ cdot 1) ) = \ frac (56) (2).
Numerele reciproce
Dacă ab = 1, atunci numărul b este înapoi pentru numărul a.
Exemplu: pentru numărul 9, inversul este \ frac (1) (9), deoarece 9 \ cdot \ frac (1) (9) = 1, pentru numărul 5 - \ frac (1) (5), deoarece 5 \ cdot \ frac (1) (5) = 1.
Fracții zecimale
Zecimal se numește o fracție regulată, al cărei numitor este 10, 1000, 10 \, 000, ..., 10 ^ n.
De exemplu: \ frac (6) (10) = 0,6; \ enspace \ frac (44) (1000) = 0,044.
Numerele incorecte cu numitorul 10 ^ n sau numerele mixte sunt scrise în același mod.
De exemplu: 5 \ frac (1) (10) = 5,1; \ enspace \ frac (763) (100) = 7 \ frac (63) (100) = 7,63.
Orice fracție obișnuită cu un numitor care este un divizor al unei puteri de 10 este reprezentată ca o fracție zecimală.
Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci fracția \ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 20) (5 \ cdot 20) = \ frac (20) (100) = 0,2.
Operații aritmetice pe fracții zecimale
Adunarea fracțiilor zecimale
Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât aceleași cifre și o virgulă sub virgulă să fie una sub cealaltă, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.
Scăderea fracțiilor zecimale
Se efectuează în același mod ca și pentru adăugare.
Înmulțirea zecimală
La înmulțirea numerelor zecimale este suficient să înmulțiți numerele date, ignorând virgulele (ca și numerele naturale), iar în răspunsul primit virgula din dreapta separă atâtea cifre câte sunt după virgulă în ambii factori în total.
Să înmulțim de 2,7 ori 1,3. Avem 27 \ cdot 13 = 351. Separați două cifre din dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1 + 1 = 2). Ca rezultat, obținem 2,7 \ cdot 1,3 = 3,51.
Dacă în rezultatul obținut există mai puține cifre decât trebuie separate prin virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:
Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, este necesar să transferați virgula în fracțiune zecimală cu 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).
De exemplu: 1,47 \ cdot 10 \, 000 = 14.700.
Împărțirea fracțiilor zecimale
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. Virgula din coeficient este plasată după ce s-a terminat împărțirea întregii părți.
Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:
.png)
Luați în considerare împărțirea unei fracții zecimale la o zecimală. Să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam virgula la dreapta în dividend și divizorul cu atâtea cifre câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , câte doi). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:
.png)
Se întâmplă că fracția zecimală finală nu se obține întotdeauna la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o zecimală infinită. În astfel de cazuri, ele trec la fracții obișnuite.
2,8: 0,09 = \ frac (28) (10): \ frac (9) (100) = \ frac (28 \ cdot 100) (10 \ cdot 9) = \ frac (280) (9) = 31 \ frac ( 1) (9).
De la cursul de algebră din programa școlară, trecem la specific. În acest articol, vom explora în detaliu un tip special de expresii raționale - fracții raționale, și, de asemenea, analiza ce caracteristică identică transformări ale fracțiilor raționale avea loc.
Observăm imediat că fracțiile raționale în sensul în care le definim mai jos sunt numite fracții algebrice în unele manuale de algebră. Adică, în acest articol vom înțelege același lucru cu fracțiile raționale și algebrice.
Ca de obicei, să începem cu o definiție și exemple. În continuare, să vorbim despre reducerea unei fracții raționale la un nou numitor și despre schimbarea semnelor membrilor fracției. După aceea, vom analiza modul în care se realizează reducerea fracțiilor. În sfârșit, să ne oprim asupra reprezentării unei fracții raționale ca sumă a mai multor fracții. Toate informațiile vor fi furnizate cu exemple cu descrieri detaliate solutii.
Navigare în pagină.
Definiție și exemple de fracții raționale
Fracțiile raționale sunt predate în lecțiile de algebră de clasa a VIII-a. Vom folosi definiția unei fracții raționale, care este dată în manualul de algebră pentru 8 clase de Yu.N. Makarychev și colab.
Această definiție nu specifică dacă polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții raționale trebuie să fie polinoame de forma standard sau nu. Prin urmare, vom presupune că înregistrările fracțiilor raționale pot conține atât polinoame standard, cât și nestandard.
Iată câteva exemple de fracții raționale... Deci, x / 8 și 
- fracții raționale. Și fracții 
și nu se potrivesc cu definiția vocală a unei fracții raționale, deoarece în prima dintre ele nu există un polinom în numărător, iar în a doua, atât în numărător, cât și în numitor, există expresii care nu sunt polinoame.
Conversia numărătorului și numitorului unei fracții raționale
Numătorul și numitorul oricărei fracții sunt expresii matematice autosuficiente, în cazul fracțiilor raționale, acestea sunt polinoame, în cazul particular, monomii și numere. Prin urmare, cu numărătorul și numitorul unei fracții raționale, ca și în cazul oricărei expresii, este posibil să se efectueze transformări identice. Cu alte cuvinte, expresia din numărătorul unei fracții raționale poate fi înlocuită cu o expresie identică cu aceasta, precum și numitorul.
Transformări identice pot fi efectuate în numărătorul și numitorul unei fracții raționale. De exemplu, la numărător, puteți grupa și aduce termeni similari, iar la numitor - produsul mai multor numere, înlocuiți-l cu valoarea sa. Și deoarece numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame, este posibil să se efectueze transformări caracteristice polinoamelor cu ele, de exemplu, reducerea la forma standard sau reprezentarea sub formă de produs.
Pentru claritate, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.
Exemplu.
Convertiți fracția rațională 
astfel încât numărătorul conține un polinom de forma standard, iar numitorul conține produsul polinoamelor.
Soluţie.
Reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor este utilizată în principal la adunarea și scăderea fracțiilor raționale.
Schimbarea semnelor în fața unei fracții, precum și în numărătorul și numitorul acesteia
Proprietatea de bază a unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele membrilor unei fracții. Într-adevăr, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții raționale cu -1 echivalează cu schimbarea semnelor acestora, iar rezultatul este o fracție care este identic egală cu cea dată. Această transformare trebuie abordată destul de des atunci când se lucrează cu fracții raționale.
Astfel, dacă schimbi simultan semnele numărătorului și numitorului fracției, obții o fracție egală cu cea inițială. Egalitatea corespunde acestei afirmații.
Să dăm un exemplu. O fracție rațională poate fi înlocuită cu o fracție identică egală cu semnele modificate ale numărătorului și numitorului formei.
O altă transformare identică poate fi efectuată cu fracții, în care semnul se schimbă fie la numărător, fie la numitor. Vom anunța regula corespunzătoare. Dacă înlocuiți semnul fracției împreună cu semnul numărătorului sau numitorului, obțineți o fracție care este identic egală cu originalul. Declaraţia scrisă corespunde egalităţilor şi.
Nu este greu să dovedești aceste egalități. Dovada se bazează pe proprietățile înmulțirii numerelor. Să demonstrăm primul dintre ele:. Egalitatea se dovedește cu ajutorul unor transformări similare.
De exemplu, puteți înlocui o fracție cu sau.
Pentru a încheia această subsecțiune, prezentăm încă două egalități utile și. Adică dacă schimbi semnul doar numărătorului sau numai numitorului, atunci fracția își va schimba semnul. De exemplu, 
și 
.
Transformările luate în considerare, care fac posibilă schimbarea semnului membrilor unei fracții, sunt adesea folosite la transformarea expresiilor raționale fracțional.
Reducerea fracțiilor raționale
Următoarea transformare a fracțiilor raționale, care se numește anularea fracțiilor raționale, se bazează pe aceeași proprietate de bază a unei fracții. Această transformare corespunde egalității, unde a, b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt nenule.
Din egalitatea de mai sus, devine clar că reducerea fracției raționale implică eliminarea factorului comun din numărătorul și numitorul său.
Exemplu.
Reduceți fracția rațională.
Soluţie.
Factorul comun 2 este imediat vizibil, vom efectua o reducere după el (când notăm factorii comuni prin care este convenabil să barăm). Avem 
... Deoarece x 2 = x x și y 7 = y 3 y 4 (a se vedea dacă este necesar), este clar că x este factorul comun al numărătorului și numitorului fracției rezultate, cum ar fi y 3. Să reducem prin acești factori: 
... Aceasta completează reducerea.
Mai sus, am efectuat reducerea fracției raționale secvenţial. Și a fost posibil să se efectueze reducerea într-o singură etapă, reducând imediat fracția cu 2 · x · y 3. În acest caz, soluția ar arăta astfel: 
.
Răspuns:
.
La anularea fracțiilor raționale, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. În plus, nu există întotdeauna. Pentru a găsi factorul comun sau pentru a vă asigura că acesta este absent, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul fracției raționale în factori. Dacă nu există un factor comun, atunci fracția rațională inițială nu trebuie să fie anulată, în caz contrar, anularea este efectuată.
În procesul de reducere a fracțiilor raționale pot apărea diverse nuanțe. Principalele subtilități cu exemple și în detaliu sunt discutate în articolul reducerea fracțiilor algebrice.
Încheind conversația despre anularea fracțiilor raționale, observăm că această transformare este identică, iar principala dificultate în implementarea ei constă în factorizarea polinoamelor în numărător și numitor.
Reprezentarea unei fracții raționale ca sumă de fracții
Destul de specifică, dar în unele cazuri foarte utilă, este transformarea unei fracții raționale, care constă în reprezentarea acesteia ca sumă a mai multor fracții, sau suma unei expresii întregi și a unei fracții.
O fracție rațională, în numărătorul căreia se află un polinom, care este suma mai multor monomii, poate fi întotdeauna scrisă ca sumă a fracțiilor cu aceiași numitori, în numărătorii cărora se află monomiile corespunzătoare. De exemplu, 
... Această reprezentare se explică prin regula adunării și scăderii fracțiilor algebrice cu aceiași numitori.
În general, orice fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în multe moduri diferite. De exemplu, fracția a / b poate fi reprezentată ca suma a două fracții - o fracție arbitrară c / d și o fracție egală cu diferența dintre fracțiile a / b și c / d. Această afirmație este adevărată, deoarece egalitatea 
... De exemplu, o fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în diferite moduri: Să reprezentăm fracția originală ca sumă a unei expresii întregi și a unei fracții. Împărțind numărătorul la numitor într-o coloană, obținem egalitatea 
... Valoarea expresiei n 3 +4 pentru orice număr întreg n este un număr întreg. Și valoarea unei fracții este un număr întreg dacă și numai dacă numitorul ei este 1, −1, 3 sau −3. Aceste valori corespund valorilor n = 3, n = 1, n = 5 și, respectiv, n = -1.
Răspuns:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Bibliografie.
- Algebră: studiu. pentru 8 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educaţie, 2008 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovici Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XIII-a, Rev. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 160 p.: Ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
- A. G. Mordkovici Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, Șters. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții la școlile tehnice): manual. manual.- M .; Superior. shk., 1984.-351 p., ill.