Pe lângă operațiile de adunare și scădere de vectori discutate anterior, precum și de înmulțire a unui vector cu un scalar (vezi §2), există și operații de înmulțire a vectorilor. Doi vectori pot fi înmulțiți unul de celălalt în două moduri: prima metodă duce la un vector nou, a doua duce la o mărime scalară. Rețineți că nu există nicio operație de împărțire a unui vector la un vector.
Acum ne vom uita la produsul sectorial al vectorilor. Vom introduce produsul scalar al vectorilor mai târziu când vom avea nevoie de el.
Produsul vectorial al doi vectori A și B este un vector C care are următoarele proprietăți:
1) modulul vectorului C este egal cu produsul dintre modulele vectorilor înmulțiți și sinusul unghiului α dintre ei (Fig. 35):
2) vectorul C este perpendicular pe planul în care se află vectorii A și B, iar direcția lui este legată de direcțiile A și B conform regulii șurubului drept: dacă vă uitați la vectorul C, rotația efectuată pe calea cea mai scurtă de la primul factor la al doilea este săgeata în sensul acelor de ceasornic.
Simbolic produs vectorial poate fi scris în două moduri:
|AB | sau .
Vom folosi prima dintre aceste metode, iar uneori pentru a face formulele mai ușor de citit vom pune o virgulă între factori. Nu ar trebui să utilizați o cruce oblică și paranteze pătrate în același timp: [А В] Următorul tip de intrare nu este permis: [АВ]=ABsi nα. În stânga este un vector, în dreapta este modulul acestui vector, adică un scalar. Următoarea egalitate este valabilă:
|
|
Deoarece direcția produsului încrucișat este determinată de direcția de rotație de la primul factor la al doilea, rezultatul înmulțirii vectoriale a doi vectori depinde de ordinea factorilor. Schimbarea ordinii factorilor determină o schimbare a direcției vectorului rezultat spre opus (Fig. 35)
Astfel, produsul vectorial nu are proprietatea comutativă.
Se poate dovedi că produsul vectorial este distributiv, adică că
Produsul încrucișat a doi vectori polari sau a doi axiali este un vector axial. Produsul încrucișat dintre un vector axial și unul polar (sau invers) va fi, totuși, un vector polar. Schimbarea condiției care determină direcția vectorilor axiali spre opus va duce în acest caz la o modificare a semnului în fața produsului vectorial și în același timp la o modificare a semnului în fața unuia dintre factori. Ca urmare, valoarea exprimată de produsul vectorial rămâne neschimbată.
Modulului de produs vectorial i se poate da o interpretare geometrică simplă: expresia ABsi nα este numeric egală cu aria paralelogramului construit pe vectorii A și B (Fig. 36; vectorul C = [AB] este direcționat în acest caz perpendicular). la planul desenului, dincolo de desen).
Fie vectorii A și B perpendiculari reciproc (Fig. 37).
Să formăm un produs vectorial dublu al acestor vectori:
adică înmulțim vectorul B cu A și apoi înmulțim vectorul A cu vectorul rezultat din prima înmulțire. Vectorul [VA] are un modul egal cu 
, și formează unghiuri egale cu π/2 cu vectorii A și B. Prin urmare, modulul vectorului D este egal cu |A |*||=A *BA =A 2 B . Direcția vectorului D, așa cum se poate observa cu ușurință din Fig. 37, coincide cu direcția vectorului B. Acest lucru ne dă motive să scriem următoarea egalitate:
|
|
Vom folosi formula (11.3) de mai multe ori în viitor. Subliniem că este valabil numai în cazul în care vectorii A și B sunt reciproc perpendiculari.
Ecuația (10.9) stabilește legătura dintre mărimile vectorilor v și ω. Folosind produsul vectorial, se poate scrie o expresie care oferă relația dintre vectorii înșiși. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z cu viteza unghiulară ω (Fig. 38). Este ușor de observat că produsul vectorial al lui ω cu vectorul rază al punctului a cărui viteză v dorim să o găsim este un vector care coincide în direcția cu vectorul v și are un modul egal cu ωr sinα =ωR, adică. v [vezi formula (10.9)]. Astfel, produsul vectorial [ωR ] este egal atât în direcție cât și în mărime cu vectorul v:
|
v=[ωr ] |
Formula (11.4) poate primi o formă diferită. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă vectorul rază r ca suma a două componente - un vector r z paralel cu axa z și un vector perpendicular pe axa z: r = r z + R (vezi Fig. 38). Înlocuind această expresie în formula (11.4) și profitând de distributivitatea produsului vectorial [vezi (11.2)], obținem:
Vectorii ω și r z sunt coliniari. Prin urmare, produsul lor vectorial este egal cu zero (sinα=0). Prin urmare, putem scrie asta
Mai târziu, când luăm în considerare mișcare de rotație, vom nota întotdeauna cu R componenta vectorului rază r desenată perpendicular pe axa de rotație trasată dintr-un punct luat pe axă. Modulul acestui vector dă distanța R a punctului față de axă.
Să găsim legătura dintre vectorii j (vector de densitate de curent) și E (intensitatea câmpului) în același punct al conductorului. Deoarece într-un conductor izotrop purtătorii de curent în fiecare punct se mișcă în direcția vectorului E, direcțiile j și E coincid. Tensiunea aplicată la capetele conductorului este egală cu Edl și rezistența acestuia. Curentul I este curentul total prin S - aria secțiunii transversale a conductorului. Atunci curentul dI este curentul prin zona elementară dS. Înlocuirea acestor expresii în formulă. Să-l notăm. .
Slide 12 din prezentarea „Rezistența conductorului” pentru lecții de fizică pe tema „Rezistență”Dimensiuni: 720 x 540 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca un diapozitiv pentru a fi folosit gratuit lectie de fizica
, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvare imagine ca...”.Puteți descărca întreaga prezentare „Resistance.ppt” într-o arhivă zip de 66 KB.
Descărcați prezentarea Rezistenţă„Știința fizicii” - Fizica ca știință. Fizica datează de la vechii greci în secolul al V-lea î.Hr. Fenomene sonore. Substanţă. materie. Fenomene electrice. Fenomene fizice. Filozofie. Fenomenele electrice sunt interacțiuni
sarcini electrice
, fulger. Moleculă de apă. Conexiunile fizicii sunt atât de diverse încât uneori oamenii nu le văd. „Abram Fedorovich Ioffe” - Ioffe la un seminar despre fizica semiconductorilor. Institutul de Fizică și Tehnologie. Institutul de Fizică și Tehnologie. Institutul Politehnic. Shockley și Joffe. Clădirea Universității din München. Ioffe la construirea ciclotronului Institutului Fizicotehnic. Una dintre ultimele fotografii ale lui Joffe. Kapitsa din Cambridge. Fotografie de Kapitsa. A. Ioffe și conaționalul său S. Timoșenko sunt studenți ai institutelor din Sankt Petersburg.„Istoria electricității” - secolul XXI -
energie electrica a devenit în sfârșit o parte integrantă a vieții. Secolul XIX - Faraday descoperă inducția electromagnetică și legile electrolizei. Se știe că, dacă anumite substanțe sunt frecate pe lână, acestea atrag obiecte ușoare. Secolul al XIX-lea - Maxwell își formulează ecuațiile. Lucrări ale lui Joule, Lenz, Ohm privind studiul curentului electric.(încărcări de mișcare). Câmpul magnetic există de fapt independent de noi, de cunoștințele noastre despre el.
„Particle Scattering” - Contrast în împrăștierea cu raze X. Pisica navigatorului. Raza de inerție și constanta de frecare de translație. Raza de rotație a unei particule sferice omogene este legată de raza ei r0. Raza de rotație și vâscozitatea intrinsecă. Variația contrastului folosind metoda amestecului H2O/D2O. Densitatea dispersiei solventului.
Lasă V – n-spațiu vectorial dimensional în care sunt date două baze: e 1 , e 2 , …, e n- bază veche, e" 1 , e" 2 , …, e"n– o nouă bază. Pentru un vector arbitrar o există coordonate în fiecare dintre ele:
o= a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n;
o= a" 1 e„1 + a” 2 e„2 + … + a” n e"n.
Pentru a stabili o relație între coloanele de coordonate vectoriale oîn bazele vechi și noi, este necesar să se extindă vectorii bazei noi în vectorii bazei vechi:
e„1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n 1 e n,
e„2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n 2 e n,
………………………………..
e"n= a 1 n e 1 + a 2 n e 2 + … + a nn e n.
Definiția 8.14. Matrice de tranziție de la vechea bază la noua bază este o matrice compusă din coordonatele vectorilor noii baze relativ la vechea bază, scrise în coloane, i.e.
Coloane de matrice T– acestea sunt coordonatele bazei și, prin urmare, vectori liniar independenți, prin urmare, aceste coloane sunt liniar independente. O matrice cu coloane liniar independente este nesingulară determinantul său nu este egal cu zero și pentru matrice T există o matrice inversă T –1 .
Să notăm coloanele de coordonate vectoriale oîn bazele vechi și, respectiv, noi, ca [ o] Și [ o]". Folosind matricea de tranziție, se stabilește o conexiune între [ o] Și [ o]".
Teorema 8.10. Coloana de coordonate vectoriale oîn vechea bază este egal cu produsul dintre matricea de tranziție și coloana de coordonate vectoriale oîntr-o bază nouă, adică [ o] = T[o]".
Consecinţă. Coloana de coordonate vectoriale oîn noua bază este egal cu produsul dintre matricea inversă cu matricea de tranziție și coloana de coordonate vectoriale oîn vechea bază, adică [ o]" = T –1 [o].
Exemplul 8.8. Creați o matrice de tranziție de la bază e 1 , e 2, la baza e" 1 , e" 2 unde e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2 și găsiți coordonatele vectorului o = 2e" 1 – 4e„2 în vechea bază.
Soluţie. Coordonatele noilor vectori de bază relativ la vechea bază sunt rândurile (3, 1) și (5, 2), apoi matricea T va lua forma . Pentru că [ o]" = , apoi [ o] = × = .
Exemplul 8.9. Sunt date două baze e 1 , e 2 – bază veche, e" 1 , e„2 este o bază nouă și e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2. Găsiți coordonatele vectoriale o = 2e 1 – e 2 în noua bază.
Soluţie. 1 cale. Prin condiție, sunt date coordonatele vectorului Oîn vechea bază: [ o] = . Să găsim matricea de tranziție din vechea bază e 1 , e 2 la noua bază e" 1 , e„2. Să luăm matricea T= o vom găsi pentru ea matrice inversă T–1 = . Apoi, conform corolarului teoremei 8.10, avem [ o]" = T –1 [o] = × = .
Metoda 2. Deoarece e" 1 , e„2 bază, apoi vector O este extins în vectori de bază după cum urmează o = k 1 e" 1 – k 2 e„2. Să găsim numerele k 1 și k 2 – acestea vor fi coordonatele vectorului O pe o bază nouă.
o = k 1 e" 1 – k 2 e" 2 = k 1 (3e 1 + e 2) – k 2 (5e 1 + 2e 2) =
= e 1 (3k 1 + 5k 2) + e 2 (k 1 + 2k 2) = 2e 1 – e 2 .
Deoarece coordonatele aceluiași vector într-o bază dată sunt determinate în mod unic, avem sistemul: 
Hotărând acest sistem, primim k 1 = 9 și k 2 = –5, deci. [ o]" = .
Lungimea unui vector, unghiul dintre vectori - aceste concepte sunt aplicabile și intuitive în mod natural atunci când definiți un vector ca un segment dintr-o anumită direcție. Mai jos vom învăța cum să determinăm unghiul dintre vectori în spațiul tridimensional, cosinusul acestuia și să luăm în considerare teoria folosind exemple.
Pentru a lua în considerare conceptul de unghi între vectori, să ne întoarcem la o ilustrare grafică: să definim doi vectori a → și b → pe un plan sau într-un spațiu tridimensional, care sunt nenuli. Să stabilim, de asemenea, un punct arbitrar O și să trasăm vectorii O A → = b → și O B → = b → din acesta
Definiția 1
Unghiîntre vectorii a → și b → este unghiul dintre razele O A și O B.
Vom nota unghiul rezultat astfel: a → , b → ^
Evident, unghiul poate lua valori de la 0 la π sau de la 0 la 180 de grade.
a → , b → ^ = 0 când vectorii sunt co-direcționali și a → , b → ^ = π când vectorii sunt direcționați opus.
Definiția 2
Vectorii sunt numiți perpendicular, dacă unghiul dintre ele este de 90 de grade sau π 2 radiani.
Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci unghiul a → , b → ^ nu este definit.
Cosinusul unghiului dintre doi vectori și, prin urmare, unghiul în sine, poate fi determinat de obicei fie folosind produsul scalar al vectorilor, fie folosind teorema cosinusului pentru un triunghi construit din doi vectori dați.
Conform definiției, produsul scalar este a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Dacă vectorii dați a → și b → sunt nenuli, atunci putem împărți laturile drepte și stângi ale egalității la produsul lungimilor acestor vectori, obținând astfel o formulă pentru găsirea cosinusului unghiului dintre non- vectori zero:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →
Această formulă este utilizată atunci când datele sursă includ lungimile vectorilor și produsul lor scalar.
Exemplul 1
Date inițiale: vectorii a → și b →. Lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 6, iar produsul lor scalar este - 9. Este necesar să se calculeze cosinusul unghiului dintre vectori și să se găsească unghiul însuși.
Soluţie
Datele inițiale sunt suficiente pentru a aplica formula obținută mai sus, apoi cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,
Acum să determinăm unghiul dintre vectori: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4
Răspuns: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Mai des există probleme în care vectorii sunt specificați prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Pentru astfel de cazuri, este necesar să se obțină aceeași formulă, dar sub formă de coordonate.
Lungimea unui vector este definită ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, iar produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare. Atunci formula pentru găsirea cosinusului unghiului dintre vectorii din planul a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) arată astfel:
cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Și formula pentru găsirea cosinusului unghiului dintre vectori în spațiul tridimensional a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) va arăta astfel: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemplul 2
Date inițiale: vectori a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Este necesar să se determine unghiul dintre ele.
Soluţie
- Pentru a rezolva problema, putem aplica imediat formula:
cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70
- De asemenea, puteți determina unghiul folosind formula:
cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,
dar mai întâi calculați lungimile vectorilor și produsul scalar după coordonate: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
Răspuns: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
De asemenea, sunt comune sarcinile când coordonatele a trei puncte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular și este necesar să se determine un anumit unghi. Și apoi, pentru a determina unghiul dintre vectori cu coordonatele date ale punctelor, este necesar să se calculeze coordonatele vectorilor ca diferență între punctele corespunzătoare ale începutului și sfârșitului vectorului.
Exemplul 3
Date inițiale: punctele A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) sunt date pe plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Este necesar să se determine cosinusul unghiului dintre vectorii A C → și B C →.
Soluţie
Să găsim coordonatele vectorilor din coordonatele puncte date A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)
Acum folosim formula pentru a determina cosinusul unghiului dintre vectorii de pe un plan în coordonate: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13
Răspuns: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Unghiul dintre vectori poate fi determinat folosind teorema cosinusului. Să lăsăm deoparte vectorii O A → = a → și O B → = b → din punctul O, atunci, conform teoremei cosinusului din triunghiul O A B, egalitatea va fi adevărată:
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B),
care este echivalent cu:
b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^
și de aici derivăm formula pentru cosinusul unghiului:
cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →
Pentru a aplica formula rezultată, avem nevoie de lungimile vectorilor, care pot fi determinate cu ușurință din coordonatele lor.
Deși această metodă are loc, formula este încă mai des folosită:
cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter