Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc

După un studiu amănunțit linii drepte în plan Continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Miza este dublată și vă invit să vizitați o pitorească galerie de elipse, hiperbole, parabole, care sunt reprezentanți tipici. linii de ordinul doi. Excursia a început deja și mai întâi o scurtă informare despre întreaga expoziție de la diferite etaje ale muzeului:

Conceptul dreptei algebrice și ordinea acesteia

O linie pe un plan se numește algebric, dacă în sistem de coordonate afine ecuația sa are forma , unde este un polinom format din termeni de forma ( – număr real, – numere întregi nenegative).

După cum puteți vedea, ecuația unei linii algebrice nu conține sinusuri, cosinusuri, logaritmi și alte frumoase monde funcționale. Doar X și Y sunt în numere întregi nenegative grade.

Ordine de linie egală cu valoarea maximă a termenilor cuprinsi în acesta.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de dreptă algebrică, precum și ordinea acesteia, nu depind de alegere sistem de coordonate afine, prin urmare, pentru ușurința existenței, presupunem că toate calculele ulterioare au loc în coordonate carteziene.

Ecuația generală a doua linie de ordine are forma , unde – numere reale arbitrare (Se obișnuiește să-l scrieți cu un factor de doi), iar coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

Dacă , atunci ecuația se simplifică la , iar dacă coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp, atunci acesta este exact ecuația generală a unei linii „plate”., care reprezintă prima linie de comandă.

Mulți au înțeles sensul noilor termeni, dar, cu toate acestea, pentru a stăpâni 100% materialul, băgăm degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniilor, trebuie să repetați toți termenii ecuațiile sale și găsiți pentru fiecare dintre ele suma de grade variabilele de intrare.

De exemplu:

termenul conține „x” la puterea 1;
termenul conține „Y” la puterea 1;
Nu există variabile în termen, deci suma puterilor lor este zero.

Acum să ne dăm seama de ce ecuația definește linia doilea comanda:

termenul conține „x” la a 2-a putere;
sumandul are suma puterilor variabilelor: 1 + 1 = 2;
termenul conține „Y” la a 2-a putere;
toți ceilalți termeni - Mai puțin grade.

Valoarea maximă: 2

Dacă adăugăm în plus, să zicem, la ecuația noastră, atunci aceasta va determina deja linie de ordinul trei. Evident, forma generală a ecuației liniei de ordinul 3 conține un „set complet” de termeni, suma puterilor variabilelor în care este egală cu trei:
, unde coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

Dacă adăugați unul sau mai mulți termeni potriviți care conțin , atunci vom vorbi deja despre linii de ordinul 4, etc.

Va trebui să întâlnim linii algebrice de ordinul al 3-lea, al 4-lea și mai mare de mai multe ori, în special, atunci când ne familiarizăm cu sistemul de coordonate polare.

Cu toate acestea, să revenim la ecuația generală și să ne amintim cele mai simple variații școlare ale acesteia. Ca exemple, apare o parabolă, a cărei ecuație poate fi ușor redusă la o formă generală și o hiperbolă cu o ecuație echivalentă. Totuși, nu totul este atât de simplu...

Un dezavantaj semnificativ al ecuației generale este că aproape întotdeauna nu este clar ce linie definește. Chiar și în cel mai simplu caz, nu îți vei da seama imediat că aceasta este o hiperbolă. Astfel de amenajări sunt bune numai la o mascarada, așa că o problemă tipică este luată în considerare în cursul geometriei analitice aducând ecuația liniei de ordinul 2 la forma canonică.

Care este forma canonică a unei ecuații?

Aceasta este forma standard acceptată în general a unei ecuații, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „plat” drept, în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt ușor vizibile.

Evident, oricare Prima linie de comandă este o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă paznicul, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Folosind un set special de acțiuni, orice ecuație a unei linii de ordinul doi este redusă la una dintre următoarele forme:

(și sunt numere reale pozitive)

1) – ecuația canonică a elipsei;

2) – ecuația canonică a unei hiperbole;

3) – ecuația canonică a unei parabole;

4) – imaginar elipsă;

5) – o pereche de drepte care se intersectează;

6) – pereche imaginar linii de intersectare (cu un singur punct de intersecție valid la origine);

7) – o pereche de drepte paralele;

8) – pereche imaginar linii paralele;

9) – o pereche de linii coincidente.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, la punctul nr. 7, ecuația specifică perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină dreptele paralele cu axa ordonatelor? Răspuns: ea neconsiderat canonic. Liniile drepte reprezintă același caz standard, rotit cu 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu aduce nimic fundamental nou.

Astfel, sunt nouă și doar nouă diverse tipuri linii de ordinul 2, dar în practică se găsesc cel mai des elipsa, hiperbola si parabola.

Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor, iar dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev/Atanasyan sau Aleksandrov.

Elipsa și ecuația ei canonică

Ortografie... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea unei elipse”.

Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula însăși definiția unei elipse mai târziu, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la magazinul vorbitor și să rezolvăm o problemă comună:

Cum se construiește o elipsă?

Da, ia-l și desenează-l. Sarcina are loc frecvent și o parte semnificativă a elevilor nu fac față desenului corect:

Exemplul 1

Construiți elipsa dată de ecuație

Soluţie: În primul rând, să aducem ecuația la forma canonică:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfurile elipsei, care sunt situate în puncte. Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația.

În acest caz:


Segment numit axa majoră elipsă;
segment – axa minoră;
număr numit arbore semi-major elipsă;
număr – axa minoră.
în exemplul nostru: .

Pentru a vă imagina rapid cum arată o anumită elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, neted și frumos, dar există o avertizare: am făcut desenul folosind programul. Și puteți face desenul folosind orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, există o bucată de hârtie în carouri pe masă, iar șoarecii dansează în cercuri pe mâinile noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat rigla, busola, raportorul și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă cunoscând doar vârfurile. Este în regulă dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semi-axe. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în cazul general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu îmi place construcția folosind o busolă și o riglă, deoarece algoritmul nu este cel mai scurt și desenul este semnificativ aglomerat. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei din schiță exprimăm rapid:

Ecuația se descompune apoi în două funcții:
– definește arcul superior al elipsei;
– definește arcul inferior al elipsei.

Elipsa definită de ecuația canonică este simetrică în raport cu axele de coordonate, și, de asemenea, relativ la origine. Și acest lucru este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al gratuităților. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de funcție . Se pune problema găsirii de puncte suplimentare cu abscise . Să atingem trei mesaje SMS pe calculator:

Desigur, este, de asemenea, frumos că, dacă se face o greșeală gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Să marchem puncte în desen (roșu), puncte simetrice pe arcele rămase ( albastru) și conectați cu atenție întreaga companie cu o linie:


Este mai bine să desenați schița inițială foarte subțire și abia apoi să aplicați presiune cu un creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?

Definiţia an elipse. Focare de elipsă și excentricitate de elipsă

O elipsă este un caz special al unui oval. Cuvântul „oval” nu trebuie înțeles în sensul filistin („copilul a desenat un oval”, etc.). Acesta este un termen matematic care are o formulare detaliată. Scopul acestei lecții nu este de a lua în considerare teoria ovalelor și diferitele lor tipuri, care nu primesc practic nicio atenție în cursul standard de geometrie analitică. Și, conform nevoilor mai stringente, trecem imediat la definiție strictă elipsă:

Elipsă este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor până la fiecare dintre ele de la două puncte date, numite trucuri elipsa, este o mărime constantă, numeric egală cu lungimea axei majore a acestei elipse: .
În acest caz, distanțele dintre focalizări sunt mai mici decât această valoare: .

Acum totul va deveni mai clar:

Imaginează-ți că punctul albastru „călătorește” de-a lungul unei elipse. Deci, indiferent de ce punct al elipsei luăm, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Să ne asigurăm că în exemplul nostru valoarea sumei este într-adevăr egală cu opt. Puneți mental punctul „um” la vârful din dreapta al elipsei, apoi: , care este ceea ce trebuia verificat.

O altă metodă de desenare se bazează pe definiția unei elipse. Matematica superioară este uneori cauza tensiunii și a stresului, așa că este timpul să avem o altă sesiune de descărcare. Vă rugăm să luați hârtie Whatman sau o foaie mare de carton și fixați-o pe masă cu două cuie. Acestea vor fi trucuri. Legați un fir verde de capetele proeminente ale unghiilor și trageți-l până la capăt cu un creion. Mina de creion va ajunge la un anumit punct care aparține elipsei. Acum începeți să desenați creionul de-a lungul foii de hârtie, păstrând firul verde întins. Continuați procesul până reveniți la punctul de plecare... grozav... desenul poate fi verificat de medic și profesor =)

Cum să găsiți focarele unei elipse?

În exemplul de mai sus, am descris punctele focale „gata făcute”, iar acum vom învăța cum să le extragem din adâncurile geometriei.

Dacă o elipsă este dată de o ecuație canonică, atunci focarele sale au coordonate , unde este asta distanța de la fiecare focar până la centrul de simetrie al elipsei.

Calculele sunt mai simple decât simple:

! Coordonatele specifice ale focarelor nu pot fi identificate cu semnificația „tse”! Repet că asta este DISTANTA de la fiecare focalizare la centru(care în cazul general nu trebuie să fie situat exact la origine).
Și, prin urmare, distanța dintre focare, de asemenea, nu poate fi legată de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi mutată în alt loc, iar valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce focarele își vor schimba în mod natural coordonatele. Vă rugăm să luați în considerare în acest momentîn timpul studierii ulterioare a subiectului.

Excentricitatea elipsei și semnificația ei geometrică

Excentricitatea unei elipse este un raport care poate lua valori în intervalul .

In cazul nostru:

Să aflăm cum forma unei elipse depinde de excentricitatea acesteia. Pentru aceasta fixați vârfurile stânga și dreapta a elipsei luate în considerare, adică valoarea semiaxei majore va rămâne constantă. Atunci formula excentricității va lua forma: .

Să începem să aducem valoarea excentricității mai aproape de unitate. Acest lucru este posibil doar dacă . Ce înseamnă? ... ține minte trucurile . Aceasta înseamnă că focarele elipsei se vor „depărta” de-a lungul axei absciselor până la vârfurile laterale. Și, deoarece „segmentele verzi nu sunt din cauciuc”, elipsa va începe inevitabil să se aplatizeze, transformându-se într-un cârnați din ce în ce mai subțiri înșirat pe o axă.

Astfel, cu cât valoarea excentricității elipsei este mai aproape de unitate, cu atât elipsa este mai alungită.

Acum să simulăm proces opus: focare de elipsă mers unul spre celălalt, apropiindu-se de centru. Aceasta înseamnă că valoarea lui „ce” devine din ce în ce mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde spre zero: .
În acest caz, „segmentele verzi” vor „deveni aglomerate”, dimpotrivă, și vor începe să „împingă” linia elipsei în sus și în jos.

Astfel, Cu cât valoarea excentricității este mai aproape de zero, cu atât elipsa este mai asemănătoare... uitați-vă la cazul limitativ când focarele sunt reunite cu succes la origine:

Un cerc este un caz special al unei elipse

Într-adevăr, în cazul egalității semiaxelor, ecuația canonică a elipsei ia forma , care se transformă reflexiv în ecuația unui cerc cu un centru la originea razei „a”, binecunoscută din școală.

În practică, se folosește mai des notația cu litera „vorbitoare” „er”: . Raza este lungimea unui segment, fiecare punct al cercului îndepărtat de centru cu o distanță de rază.

Rețineți că definiția unei elipse rămâne complet corectă: focarele coincid, iar suma lungimilor segmentelor coincidente pentru fiecare punct de pe cerc este o constantă. Deoarece distanța dintre focare este , atunci excentricitatea oricărui cerc este zero.

Construirea unui cerc este ușoară și rapidă, folosiți doar o busolă. Cu toate acestea, uneori este necesar să aflăm coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem pe calea familiară - aducem ecuația la forma vesela Matanov:

– funcția semicercului superior;
– funcţia semicercului inferior.

Apoi găsim valorile necesare, diferenţiaţi, integrași să faci alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este doar pentru referință, dar cum poți trăi în lume fără iubire? Sarcina creativă pentru o decizie independentă

Exemplul 2

Compuneți ecuația canonică a unei elipse dacă unul dintre focarele și semi-axa ei sunt cunoscute (centrul este la origine). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și trageți o linie pe desen. Calculați excentricitatea.

Rezolvare și desen la sfârșitul lecției

Să adăugăm o acțiune:

Rotiți și translați în paralel o elipsă

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume la condiția, al cărei mister a chinuit mințile iscoditoare încă de la prima mențiune a acestei curbe. Așa că ne-am uitat la elipsă , dar nu este posibil în practică să îndeplinim ecuația ? La urma urmei, aici, însă, pare a fi și o elipsă!

Acest tip de ecuație este rar, dar se întâlnește. Și definește de fapt o elipsă. Să demitificăm:

În urma construcției s-a obținut elipsa noastră nativă, rotită cu 90 de grade. adica - Asta intrare necanonică elipsă . Înregistra!– ecuație nu definește nicio altă elipsă, deoarece nu există puncte (focare) pe axă care să satisfacă definiția unei elipse.

Circumferinţă este o curbă plană închisă, toate punctele căreia sunt echidistante de un punct dat (centrul cercului). Distanța de la orice punct al cercului \(P\left((x,y)\right)\) până la centrul său se numește rază. Centrul cercului și cercul însuși se află în același plan. Ecuația unui cerc cu raza \(R\) cu centrul la origine ( ecuația canonică a unui cerc ) are forma
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Ecuația unui cerc raza \(R\) cu centrul într-un punct arbitrar \(A\left((a,b) \right)\) se scrie ca
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).



Ecuația unui cerc care trece prin trei puncte , scris sub forma: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) și ((x_1)) și ((y_1)) și 1\\ (x_2^2 + y_2^2) și ((x_2)) și ((y_2)) și 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right = 0.\\\)
Aici \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) sunt trei puncte situate pe cerc.



Ecuația unui cerc în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(x\), \(y\) sunt coordonatele punctelor cercului, \(R\) este raza cercului, \(t\) este parametrul.

Ecuația generală a unui cerc
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
sub rezerva \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Centrul cercului este situat în punctul cu coordonatele \(\left((a,b)\right)\), unde
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Raza cercului este
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Elipsă se numește curbă plană pentru fiecare punct din care suma distanțelor la doi puncte date (focare de elipsă ) este constantă. Distanța dintre focare se numește distanta focala și se notează cu \(2c\). Mijlocul segmentului care leagă focarele se numește centrul elipsei . O elipsă are două axe de simetrie: prima sau axă focală, care trece prin focare, și a doua axă perpendiculară pe aceasta. Se numesc punctele de intersecție a acestor axe cu elipsa culmi. Segmentul care leagă centrul elipsei cu vârful se numește semiaxa elipsei . Semiaxa majoră se notează cu \(a\), semiaxa mică cu \(b\). O elipsă al cărei centru este la origine și ale cărei semi-axe se află pe linii de coordonate este descrisă după cum urmează ecuație canonică :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ dimensiune normală = 1.\)



Suma distanțelor de la orice punct al elipsei până la focarele sale constant:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
unde \((r_1)\), \((r_2)\) sunt distanțele de la un punct arbitrar \(P\left((x,y) \right)\) până la focare \((F_1)\) și \(( F_2)\), \(a\) este semiaxa majoră a elipsei.



Relația dintre semiaxele elipsei și distanța focală
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
unde \(a\) este semiaxa majoră a elipsei, \(b\) este semiaxa minoră, \(c\) este jumătate din distanța focală.

Excentricitatea elipsei
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Ecuații ale directricelor elipselor
Directricea unei elipse este o linie dreaptă perpendiculară pe axa ei focală și care o intersectează la o distanță \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) de centru. O elipsă are două directrice separate prin laturi diferite din centru. Ecuațiile directrice sunt scrise sub forma
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

Ecuația unei elipse în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele elipsei, \(t\) este parametrul.

Ecuația generală a elipsei
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \((B^2) - 4AC

Ecuația generală a unei elipse ale cărei semi-axe sunt paralele cu axele de coordonate
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(AC > 0\).

Perimetrul elipsei
\(L = 4aE\stânga(e\dreapta)\),
unde \(a\) este semiaxa majoră a elipsei, \(e\) este excentricitatea, \(E\) este integrală eliptică completă de al doilea fel.

Formule aproximative pentru perimetrul unei elipse
\(L \aprox \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \aproximativ \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele elipsei.

Zona elipsei
\(S = \pi ab\)

Vă invităm să încercați cel mai versatil

cel mai bun

pe internet. Noastre

calculator perimetru elipse online

nu numai că vă va ajuta să găsiți

perimetrul elipsei

în mai multe feluri

în funcție de datele cunoscute, dar va arăta și

soluție detaliată

. Prin urmare aceasta

calculator perimetru elipse online

Este convenabil de utilizat nu numai pentru calcule rapide, ci și pentru verificarea calculelor.

Calculator online pentru perimetrul elipsei

, prezentat pe site-ul nostru, este o subsecțiune

calculator online pentru perimetrul formelor geometrice

. Acesta este motivul pentru care nu numai că poți

stabiliți precizia calculului

, dar și, mulțumesc

navigare usoara

noastre

calculator online

, fără efort suplimentar, treceți la calcul

perimetru

oricare dintre următoarele forme geometrice: triunghi, dreptunghi, pătrat, paralelogram, romb, trapez, cerc, sector al unui cerc, poligon regulat.

De asemenea, puteți merge literalmente la

calculator online pentru zona formelor geometrice

si calculeaza

pătrat

triunghi

,

dreptunghi

,

pătrat

,

paralelogram

,

romb

,

trapeze

,

cerc

,

elipsă

,

sectoare ale cercului

,

poligon regulat

de asemenea în mai multe feluri

si cu

soluție detaliată

.

Elipsă

este o curbă închisă pe un plan care poate fi obținută ca intersecția unui plan și a unei circulare

cilindru

, sau ca proiecție ortogonală

cerc

la avion.

Cerc

este un caz special

elipsă

. Împreună cu

hiperbolă

Şi

parabolă

,

elipsă

este

sectiune conica

Şi

cvadrică

.

elipsă

este intersectată de două drepte paralele, apoi segmentul care leagă punctele medii ale segmentelor formate la intersecția dreptelor și

elipsă

, va trece mereu prin

centrul elipsei

. Această proprietate face posibilă obținerea, prin construcție folosind o busolă și o riglă,

centrul elipsei

.

Evoluta

elipsă

Există

asteroid

, care este întins de-a lungul axei scurte.

Folosind asta

Poți face

calculul perimetrului elipsei

în următoarele moduri:

-

calculul perimetrului unei elipse prin două semiaxe

;

-

calculul perimetrului unei elipse prin două axe

.

De asemenea, folosind

calculator online perimetru elipsă

Puteți afișa toate opțiunile prezentate pe site

calcularea perimetrului unei elipse

.

Îți va plăcea

calculator perimetru elipse online

sau nu, lăsați totuși comentarii și sugestii. Suntem gata să analizăm fiecare comentariu despre lucrare

calculator online perimetru elipsă

și faceți-l mai bun. Vom fi bucuroși să vedem fiecare comentariu pozitiv și recunoștință, deoarece aceasta nu este altceva decât o confirmare că munca și eforturile noastre sunt justificate și

Oval este o curbă casetă închisă care are două axe de simetrie și este formată din două cercuri de sprijin de același diametru, conjugate intern prin arce (Fig. 13.45). Un oval este caracterizat de trei parametri: lungimea, lățimea și raza ovalului. Uneori se precizează numai lungimea și lățimea ovalului, fără a-i defini razele, atunci problema construirii unui oval are o mare varietate de soluții (vezi Fig. 13.45, a... d).

Se folosesc și metode de construire a ovalelor pe baza a două cercuri de referință identice care se ating (Fig. 13.46, a), se intersectează (Fig. 13.46, b) sau nu se intersectează (Fig. 13.46, c). În acest caz, sunt de fapt specificați doi parametri: lungimea ovalului și una dintre razele acestuia. Această problemă are multe soluții. Este evident că R > OA nu are limita superioară. În special R = O 1 O 2(vezi Fig. 13.46.a și Fig. 13.46.c) și centrele O 3Şi O 4 sunt determinate ca puncte de intersecție ale cercurilor de bază (vezi Fig. 13.46, b). Conform teorie generală punctele mate sunt determinate pe o linie dreaptă care leagă centrele arcelor cercurilor osculatoare.

Construirea unui oval cu cercuri de sprijin care se ating(problema are multe solutii) ( orez. 3.44). Din centrele cercurilor de referință DESPREŞi 0 1 cu o rază egală, de exemplu, cu distanța dintre centrele lor, se desenează arce de cerc până când se intersectează în puncte DESPRE 2 și O 3.

Figura 3.44

Dacă din puncte DESPRE 2 și O 3 trage linii drepte prin centre DESPREŞi O 1, apoi la intersectia cu cercurile de sprijin obtinem punctele de legatura CU, C 1, DŞi D 1. Din puncte DESPRE 2 și O 3 ca din centrele de rază R 2 desenează arce de conjugare.

Construirea unui oval cu cercuri de referință care se intersectează(problema are și multe soluții) (Fig. 3.45). Din punctele de intersecție ale cercurilor de referință C 2Şi O 3 trageți linii drepte, de exemplu, prin centre DESPREŞi O 1 până când se intersectează cu cercurile de referință în punctele de joncțiune C, C1 DŞi D 1, și razele R2, egal cu diametrul cercului de referință - arcul de conjugare.

Figura 3.45 Figura 3.46

Construirea unui oval de-a lungul a două axe specificate AB și CD(Fig. 3.46). Mai jos este una dintre multele soluții posibile. Un segment este trasat pe axa verticală OE, egal cu jumătate din axa majoră AB. Din punct de vedere CU cum să desenezi un arc cu o rază din centru SE până la intersecția cu segmentul de linie AC la punct E 1. Spre mijlocul segmentului AE 1 restabiliți perpendiculara și marcați punctele de intersecție a acesteia cu axele ovalului O 1Şi 0 2 . Construiți puncte O 3Şi 0 4 , simetric față de puncte O 1Şi 0 2 raportat la axe CDŞi AB. Puncte O 1Şi 0 3 vor fi centrele cercurilor de referință de rază R1, egală cu segmentul Aproximativ 1 A, si punctele O2Şi 0 4 - centrele de conjugare arcuri de rază R2, egal cu segmentul O2C. Linii drepte care leagă centrele O 1Şi 0 3 Cu O2Şi 0 4 La intersecția cu ovalul se vor determina punctele de legătură.

ÎN Construcție AutoCAD Ovalul este realizat folosind două cercuri de sprijin de aceeași rază, care:

1. au un punct de contact;

2. se intersectează;

3. nu se intersectează.

Să luăm în considerare primul caz. Se construiește un segment OO 1 =2R, paralel cu axa X la capetele acesteia (punctele O și O 1) se plasează centrele a două cercuri de susținere de rază R și centrele a două cercuri auxiliare de rază R 1 =2R; Din punctele de intersecție ale cercurilor auxiliare O 2 și O 3 se construiesc arce CD și, respectiv, C 1 D 1. Cercurile auxiliare sunt îndepărtate, apoi părțile interioare ale cercurilor de sprijin sunt tăiate în raport cu arcurile CD și C 1 D 1. În figura ъъ ovalul rezultat este evidențiat cu o linie groasă.

Figura Construirea unui oval cu cercuri de sprijin care se ating de aceeași rază

Calcularea lungimii/perimetrului unei elipse nu este deloc o sarcină banală, așa cum s-ar putea crede.

Dar aceeași abordare simplă este complet nepotrivită pentru o elipsă.

În termeni exacti, perimetrul unei elipse poate fi exprimat doar prin această formulă:

Excentricitatea elipsei

Semi-axa mare a elipsei

În viața de zi cu zi, desigur, se folosesc formule aproximative, despre care vom vorbi.

Una dintre ele arată așa

Formula oferă date de două ori mai precise

Și un perimetru și mai precis al elipsei dă expresia

Dar, indiferent care sunt formulele, ele dau totuși doar aproximativ perimetrul elipsei.

Noi, folosind o formulă exactă prin integrala eliptică, obținem independență față de astfel de restricții și obținem acuratețe absolută pentru orice valoare a elipsei.

Rezolvarea exemplelor

Elipsa este dată de ecuație

Găsiți-i perimetrul

Să introducem parametrii cunoscuți a=2 și b=5 și să obținem rezultatul

De ce pot fi introduse în datele sursă doar valorile semi-axelor? Conform altor parametri, ce nu contează?

O să explic.

Calculatoarele de pe acest site, inclusiv acesta, nu sunt destinate să vă înlocuiască creierul. Ele simplifică doar operațiunile de rutină, sau acele operațiuni în care este posibil să faceți o greșeală. Și asta-i tot.

Reveni