Împărțim segmentul de integrare într-un număr par de segmente elementare de lungime egală prin puncte cu un pas 
(
). Pe fiecare segment 
Aproximăm integrandul printr-un polinom de gradul doi, care pe acest segment are forma 
. Rețineți că i aici acceptă doar valori impare de la 1 la 
. Astfel, funcția integrand este aproximată printr-un set de polinoame pătratice sau o spline de gradul doi.
Să calculăm o integrală arbitrară din partea dreaptă.
Cote 
,
Şi 
poate fi găsită din condiția de interpolare, adică din ecuații
,
Rețineți că ideea 
este punctul de mijloc al segmentului 
, prin urmare 
. Să substituim această expresie în a doua ecuație de interpolare:
.
Să înmulțim această ecuație cu 4 și să o adăugăm la celelalte:
Ultima expresie coincide exact cu expresia dintre paranteze drepte din formula (5.1). Prin urmare,
Ceea ce înseamnă
Astfel, formula lui Simpson arată astfel:
Estimarea erorii formulelor de cuadratura.
Să estimăm eroarea atunci când folosim metoda dreptunghiului mediu în ipoteza că funcția 
infinit diferentiabil.
Să extindem funcția integrand 
într-o serie Taylor în vecinătatea unui punct 
,
.
Ultimul rând conține doar puteri impare x. Apoi
Cu un pas mic h contribuția principală la eroare R va contribui la valoare 
, numit termenul principal de eroare R.
Să aplicăm metoda dreptunghiurilor medii în funcție 
pe segment 
în trepte h. Apoi
.
Aşa, 
, Unde 
– valoare constantă. Eroare în egalitatea aproximativă 
este o cantitate infinitezimală de ordin superior în comparație cu 
la 
.
Gradul de pas h, la care restul este proporțional R, se numește ordinea de precizie a metodei de integrare. Metoda dreptunghiului mediu are o precizie de ordinul doi.
Să estimăm eroarea atunci când folosim metoda trapezoidală și în ipoteza că funcția 
infinit diferentiabil.
Să extindem integrandul într-o serie Taylor în vecinătatea punctului 
(
).
Termenul de eroare principal R:
.
Aplicarea metodei dreptunghiului din stânga unei funcții 
pe segment 
în trepte h, primim
.
Deci, metoda trapezoidală are și precizie de ordinul doi.
În mod similar, se poate demonstra că metodele dreptunghiului din stânga și din dreapta au primul, iar metoda Simpson, al patrulea ordin de precizie.
Cursul 17.
„Regula lui Runge pentru evaluarea erorilor practice.
Conceptul de algoritmi adaptativi.
Cazuri speciale integrare numerică.
Metoda celulară. Calculul integralelor multiple."
Regula lui Runge pentru evaluarea erorilor practice.
Fie ca o metodă de integrare să aibă ordinea preciziei k, adică 
, Unde 
- eroare, O– coeficient în funcție de metoda de integrare și de funcția integrand, h– pas de partiție. Apoi
iar când păși
,
Formula derivată se numește prima formulă a lui Runge. Are o mare importanță practică. Dacă trebuie să calculați integrala cu precizie , atunci trebuie să calculăm valorile aproximative ale integralei, dublând numărul de segmente elementare până când obținem inegalitatea
Apoi, neglijând mărimile infinitezimale, putem presupune că
Dacă dorim să obținem o valoare mai precisă a integralei dorite, atunci pentru valoarea rafinată J putem accepta în schimb 
cantitate
.
Aceasta este a doua formulă a lui Runge. Din păcate, incertitudinea acestei valori rafinate rămâne incertă, dar este de obicei un ordin de mărime mai mare decât acuratețea metodei originale (când valoarea este J acceptăm 
).
De exemplu, luați în considerare metoda trapezului. După cum se arată mai sus, ordinea preciziei k din această metodă este egal cu 2.
Unde 
. Conform celei de-a doua formule a lui Runge
Unde 
este valoarea aproximativă a integralei găsite prin metoda Simpson cu un pas. Deoarece ordinea acestei metode este 4, atunci în în acest exemplu aplicarea celei de-a doua formule Runge a crescut ordinea preciziei cu 2.
Să împărțim segmentul de integrare [ O, b] la un număr par n părți egale în trepte h. Pe fiecare segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] funcţia integrand f(X) înlocuim cu un polinom de interpolare de gradul doi:
Coeficienții acestor trinoame pătratice pot fi găsiți din condițiile de egalitate a polinomului în punctele datelor tabulare corespunzătoare. Putem lua ca polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care trece prin puncte 
:
Suma ariilor elementare și (Fig. 3.3) poate fi calculată folosind o integrală definită. Ținând cont de egalitățile pe care le obținem
- 
Orez. 3.3. Ilustrație pentru metoda lui Simpson
După ce am efectuat astfel de calcule pentru fiecare segment elementar, rezumăm expresiile rezultate:
Această expresie pentru S se ia ca valoare a integralei definite:
(3.35)
Relația rezultată se numește Formula lui Simpson sau formula parabolă.
Această formulă poate fi obținută în alte moduri, de exemplu, folosind metoda trapezoidală de două ori la partiționarea segmentului [ O, b] în părți cu pași hși 2 h sau prin combinarea formulelor dreptunghiurilor și trapezelor (vezi Secțiunea 3.2.6).
Uneori formula lui Simpson este scrisă folosind indici pe jumătate întregi. În acest caz, numărul de segmente ale partiției n arbitrar (nu neapărat chiar), iar formula lui Simpson are forma
(3.36)
Este ușor de observat că formula (3.36) coincide cu (3.35) dacă se aplică formula (3.35) pentru numărul de segmente ale partiției 2 n si pas h/2.
Exemplu. Calculați integrala folosind metoda lui Simpson
Valorile funcției la n = 10, h = 0,1 sunt date în tabel. 3.3. Aplicând formula (3.35), găsim
Rezultatul integrării numerice folosind metoda lui Simpson s-a dovedit a coincide cu valoarea exactă (șase cifre semnificative).
Unul dintre algoritmii posibili pentru calcularea unei integrale definite folosind metoda lui Simpson este prezentat în Fig. 3.4. Limitele segmentului de integrare [ O, b],eroare ε, precum și o formulă pentru calcularea valorilor integrandului y =f(x) .
Orez. 3.4. Algoritmul metodei Simpson
Inițial, segmentul este împărțit în două părți cu un pas h =(b- a)/2. Se calculează valoarea integralei eu 1. Apoi se dublează numărul de pași, se calculează valoarea eu 2 în trepte h/2. Condiția de încheiere a contului este luată în forma . Dacă această condiție nu este îndeplinită, un nou pas este împărțit în jumătate etc.
Rețineți că este prezentat în fig. 3.4 algoritmul nu este optim: la calcularea fiecărei aproximări eu 2 valori ale funcției nu sunt utilizate f(x), găsit deja în etapa anterioară. Algoritmi mai economici vor fi discutați în secțiune. 3.2.7.
Pentru a construi formula Simpson, luăm în considerare mai întâi următoarea problemă: calculați aria S a unui trapez curbiliniu mărginit mai sus de graficul parabolei y = Ax 2 + Bx + C, în stânga de linia x = - h, pe dreapta de dreapta x = h iar dedesubt de segmentul [-h; h]. Lasă parabola să treacă prin trei puncte (Fig. 8): D(-h; y 0) E(0; y 1) și F(h; y 2), și x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Prin urmare,
x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.
Atunci aria S este egală cu integrala:
Să exprimăm această zonă prin h, y 0, y 1 și y 2. Pentru a face acest lucru, calculăm coeficienții parabolei A, B, C. Din condiția ca parabola să treacă prin punctele D, E și F, avem:
Rezolvând acest sistem, obținem: C = y 1 ; A=
Înlocuind aceste valori ale lui A și C în (3), obținem aria necesară
Să trecem acum la derivarea formulei lui Simpson pentru calcularea integralei
Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul de integrare în 2n părți egale de lungime
La punctele de împărțire (Fig. 4 a = x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n = b).
Adăugăm valorile funcției integrand f: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, unde y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).
Pe segment, înlocuim integrandul cu o parabolă care trece prin punctele (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) și (x 2 ; y 2), și să calculăm valoarea aproximativă a integralei din x De la 0 la x 2 folosim formula (4 ). Apoi (zona umbrită în Fig. 4):
În mod similar găsim:
................................................
Adunând egalitățile rezultate, avem:
Formula (5) se numește formula Simpson generalizată sau formula parabolă, deoarece atunci când este derivat, graficul integrandului pe un segment parțial de lungime 2h este înlocuit cu arcul unei parabole.
Atribuirea postului:
1. Conform instrucțiunilor profesorului sau în conformitate cu o opțiune de la Mesele 4 sarcini (vezi Anexa) iau conditii - functia integrand, limitele integrarii.
2. Creați o diagramă bloc a programului și un program care ar trebui:
Solicitați acuratețea calculului unei anumite integrale, limitele inferioare și superioare de integrare;
Calculați integrala dată folosind următoarele metode: pentru opțiunile 1,4,7, 10... - dreapta, pentru opțiunile 2,5,8,... - mijloc; pentru opțiunile 2,5,8,... - dreptunghiuri din stânga. Tipăriți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;
Calculați integrala dată prin metoda trapezoidală (pentru opțiunile pare) și metoda Simpson (pentru opțiunile impare).
Tipăriți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;
Ieșiți valorile funcției de control pentru valoarea dată a argumentului și comparați cu valorile calculate ale integralei. Trageți concluzii.
Întrebări de securitate
1. Ce este o integrală definită?
2. De ce, alături de metodele analitice, se folosesc metode numerice pentru calcularea integralelor definite.
3. Care este esența metodelor numerice de bază pentru calcularea integralelor definite.
4. Influența numărului de partiții asupra preciziei calculării unei integrale definite folosind metode numerice.
5. Cum se calculează integrala prin orice metodă cu o precizie dată?
Catedra de Matematică Superioară
Completat de: Matveev F.I.
Verificat de: Burlova L.V.
Ulan-Ude.2002
1.Metode numerice de integrare
2. Derivarea formulei lui Simpson
3.Ilustrație geometrică
4.Selectarea etapei de integrare
5.Exemple
1. Metode de integrare numerică
Problema integrării numerice este de a calcula integrala
Printr-o serie de valori ale integrandului.
Problemele de integrare numerică trebuie rezolvate pentru funcții specificate în tabele, funcții ale căror integrale nu sunt luate în funcții elementare etc. Să luăm în considerare doar funcțiile unei variabile.
În loc de funcția care trebuie integrată, integrăm polinomul de interpolare. Metodele bazate pe înlocuirea integrandului cu un polinom de interpolare fac posibilă estimarea preciziei rezultatului utilizând parametrii polinomului sau selectarea acestor parametri în funcție de precizia dată.
Metodele numerice pot fi grupate condiționat în funcție de metoda de aproximare a integrandului.
Metodele Newton-Cotes se bazează pe aproximarea unei funcții printr-un polinom de grade. Algoritmul acestei clase diferă doar în gradul polinomului. De regulă, nodurile polinomului de aproximare sunt egal legate.
Metodele de integrare spline se bazează pe aproximarea unei funcții printr-un polinom spline pe bucăți.
Metodele cu cea mai mare precizie algebrică (metoda Gauss) folosesc noduri inegale special selectate care oferă o eroare minimă de integrare pentru un număr dat (selectat) de noduri.
Metodele Monte Carlo sunt cele mai des folosite atunci când se calculează integrale multiple, nodurile sunt selectate aleatoriu, iar răspunsul este probabilist.
eroare totala
eroare de trunchiere
eroare de rotunjire
Indiferent de metoda aleasă, în procesul de integrare numerică este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a integralei și să se estimeze eroarea. Eroarea scade pe măsură ce numărul n crește
partiții de segmente. Cu toate acestea, acest lucru crește eroarea de rotunjire
prin însumarea valorilor integralelor calculate pe segmente parțiale.
Eroarea de trunchiere depinde de proprietățile integrandului și de lungimea segmentului parțial.
2. Derivarea formulei lui Simpson
Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, obținem formula lui Simpson.
Să luăm în considerare integrantul pe segment . Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi, care coincide cu punctele:
Să integrăm:
și se numește formula lui Simpson.
Valoarea obținută pentru integrală coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte
Să estimăm acum eroarea de integrare folosind formula lui Simpson. Vom presupune că există derivate continue pe interval 
. Să facem diferența
Este deja posibil să se aplice teorema valorii medii la fiecare dintre aceste două integrale, deoarece funcția este continuă și nenegativă pe primul interval de integrare și nepozitivă pe al doilea (adică nu își schimbă semnul pe fiecare dintre aceste intervale). De aceea:
(am folosit teorema valorii medii deoarece - este o funcție continuă; ).
Diferențiând de două ori și aplicând apoi teorema valorii medii, obținem o altă expresie pentru:
, Unde 
Din ambele estimări rezultă că formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de grad nu mai mare de trei. Să scriem formula lui Simpson, de exemplu, sub forma:
Dacă segmentul de integrare este prea mare, atunci este împărțit în părți egale (presupunând ), și apoi la fiecare pereche de segmente adiacente, 
,..., aplicați formula Simpson și anume:
Să scriem formula lui Simpson în formă generală:
Eroare a formulei lui Simpson - metoda de ordinul al patrulea:
, (3)
Deoarece metoda Simpson vă permite să obțineți o precizie ridicată, dacă nu prea mare. În caz contrar, metoda de ordinul doi poate oferi o precizie mai mare.
De exemplu, pentru o funcție, forma trapezoidală pentru for dă rezultatul exact, în timp ce folosind formula lui Simpson obținem
3. Ilustrație geometrică
 |
Pe un segment de lungime 2h se construiește o parabolă care trece prin trei puncte, 
. Aria de sub parabolă, cuprinsă între axa OX și linii drepte, se ia egală cu integrala.
O caracteristică specială a aplicării formulei lui Simpson este faptul că numărul de partiții ale segmentului de integrare este par.
Dacă numărul de segmente ale partiției este impar, atunci pentru primele trei segmente se aplică o formulă folosind o parabolă de gradul trei care trece prin primele patru puncte pentru a aproxima integrandul.
(4)
Aceasta este formula lui Simpson cu trei optimi.
Pentru un segment arbitrar de integrare, formula (4) poate fi „continuată”; în acest caz, numărul de segmente parțiale trebuie să fie un multiplu de trei (puncte).
, m=2,3,... (5)
Toată parte
Puteți obține formulele Newton-Cotes de ordine superioară:
(6)
Numărul de segmente de partiție;
Gradul polinomului utilizat;
Derivată de ordinul al-lea la punctul ;
Etapa de împărțire.
Tabelul 1 prezintă coeficienții. Fiecare linie corespunde unui set de intervale prin noduri pentru a construi un polinom de gradul k. Pentru a utiliza această schemă pentru un număr mai mare de mulțimi (de exemplu, cu k=2 și n=6), trebuie să „continuați” coeficienții și apoi să îi adăugați.
Tabelul 1:
Algoritmul de estimare a erorii formulelor trapezoidale și Simpson poate fi scris ca: (7),
unde este un coeficient în funcție de metoda de integrare și de proprietățile integrandului;
h - etapa de integrare;
p - ordinea metodei.
Regula lui Runge este folosită pentru a calcula eroarea calculând integrala de două ori cu pașii h și kh.
(8) - estimare a posteriori. Atunci Iref.= +Ro (9), valoare rafinată a integralei.
Dacă ordinea metodei este necunoscută, este necesar să se calculeze I a treia oară cu pasul , adică:
dintr-un sistem de trei ecuații:
Cu necunoscut I,Ași p obținem:
Din (10) rezultă 
(11)
Astfel, metoda de calcul dublu, folosită de numărul necesar de ori, permite să se calculeze integrala cu un grad de precizie dat. Numărul necesar de partiții este selectat automat. În acest caz, puteți utiliza mai multe apeluri la subrutinele metodelor de integrare corespunzătoare fără a modifica algoritmii acestor metode. Totuși, pentru metodele care utilizează noduri înrudite egal, este posibil să se modifice algoritmii și să se înjumătățească numărul de calcule ale integrandului utilizând sumele integrale acumulate în timpul mai multor partiții anterioare ale intervalului de integrare. Două valori aproximative ale integralei și, calculate folosind metoda trapezoidală cu pași și, sunt legate prin relația:
În mod similar, pentru integralele calculate folosind formula cu pași și , următoarele relații sunt valabile:
,
(13)
4. Alegerea etapei de integrare
Pentru a selecta pasul de integrare, puteți utiliza expresia termenului rămas. Luați, de exemplu, restul formulei lui Simpson:
Dacă ê ê, atunci ê ê 
.
Pe baza acurateței date e a metodei de integrare, determinăm pasul potrivit din ultima inegalitate.
, 
.
Cu toate acestea, această metodă necesită evaluare (ceea ce nu este întotdeauna posibil în practică). Prin urmare, folosesc alte metode pentru determinarea estimării preciziei, care fac posibilă selectarea pasului h dorit în timpul calculelor.
Să ne uităm la una dintre aceste tehnici. Lasă
,
unde este valoarea aproximativă a integralei cu pasul . Să reducem pasul la jumătate, împărțind segmentul în două părți egale și ().
Să presupunem acum că nu se schimbă prea repede, astfel încât este aproape constantă: . Apoi 
Şi 
, unde 
, adică 
.
De aici putem trage următoarea concluzie: dacă 
, adică dacă , , a este precizia necesară, atunci pasul este potrivit pentru calcularea integralei cu suficientă precizie. Dacă, atunci calculul se repetă în pași și apoi se compară etc. Această regulă se numește regula lui Runge.
Cu toate acestea, atunci când se aplică regula lui Runge, este necesar să se țină cont de mărimea erorii de calcul: pe măsură ce aceasta scade, eroarea absolută în calculele integrale crește (dependența de este invers proporțională) și, dacă este suficient de mică, se poate transforma. a fi mai mare decât eroarea metodei. Dacă depășește , atunci regula lui Runge nu poate fi aplicată pentru acest pas și nu poate fi atinsă precizia dorită. În astfel de cazuri este necesară creșterea valorii.
Când ați derivat regula lui Runge, ați folosit în esență presupunerea că . Dacă există doar un tabel de valori, atunci verificarea „constanței” se poate face direct folosind tabelul Dezvoltare în continuare dintre algoritmii de mai sus ne permite să trecem la algoritmi adaptativi, în care, alegând un alt pas de integrare în diferite părți segment de integrare, în funcție de proprietăți, numărul de calcule ale funcției integrand scade.
O altă schemă de rafinare a valorilor integrale este procesul Eithnen. Integrala se calculează în pași și . Calcularea valorilor. Apoi 
(14).
Măsura preciziei metodei Simpson este considerată:
5. Exemple
Exemplul 1. Calculați integrala folosind formula lui Simpson dacă este dată de un tabel. Estimați eroarea.
Tabelul 3.
Rezolvare: Să calculăm prin formula (1) pentru și integrală .
Conform regulii lui Runge, primim Accept.
Exemplul 2. Calculați integrala 
.
Soluție: Avem . Prin urmare, h==0,1. Rezultatele calculului sunt prezentate în tabelul 4.
Tabelul 4.
Calculul integralei folosind formula lui Simpson
| y0=1,00000; -0,329573ê £ 3. Estimări pentru eroarea metodei Simpson: £ 0,0000017 pentru =0,1, £ 0,0000002 pentru =0,05. Pentru a preveni ca erorile de rotunjire să denatureze un rezultat atât de precis pentru formula lui Simpson, toate calculele au fost efectuate cu șase zecimale. Rezultate finale: |
Când se calculează o integrală definită, nu obținem întotdeauna o soluție exactă. Reprezentarea sub forma unei funcții elementare nu este întotdeauna posibilă. Formula Newton-Leibniz nu este potrivită pentru calcul, așa că trebuie utilizate metode de integrare numerică. Această metodă vă permite să obțineți date cu o precizie ridicată. Metoda lui Simpson este doar asta.
Pentru a face acest lucru, este necesar să oferiți o reprezentare grafică a derivării formulei. Următoarea este o înregistrare a estimării erorii absolute folosind metoda Simpson. În concluzie, vom compara trei metode: Simpson, dreptunghiuri, trapeze.
Metoda parabolelor – esență, formulă, evaluare, erori, ilustrații
Este dată o funcţie de forma y = f (x), care are continuitate pe intervalul [ a ; b ] , este necesar să se calculeze integrala definită ∫ a b f (x) d x
Este necesar să se împartă segmentul [a; b ] în n segmente de forma x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n cu lungimea 2 h = b - a n și punctele a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Fiecare interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n al integrandului este aproximat folosind o parabolă definită prin y = a i x 2 + b i x + c i care trece prin puncte cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i). De aceea metoda are acest nume.
Aceste acțiuni sunt efectuate pentru a lua integrala ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x ca valoare aproximativă ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Putem calcula folosind formula Newton-Leibniz. Aceasta este esența metodei parabolelor Luați în considerare figura de mai jos.
Ilustrare grafică a metodei parabolelor (Simpson)
Folosind linia roșie, este reprezentat graficul funcției y = f (x), iar linia albastră este o aproximare a graficului y = f (x) folosind parabole pătratice.
Pe baza proprietății a cincea a integralei definite, obținem ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Pentru a obține formula folosind metoda parabolelor, este necesar să efectuați următorul calcul:
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Fie x 2 i - 2 = 0 . Luați în considerare figura de mai jos.
Să descriem că prin punctele cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece printr-o parabolă pătratică de forma y = a i x 2 + b i x + c i . Cu alte cuvinte, este necesar să se demonstreze că coeficienții pot fi determinați doar într-un singur mod.
Avem că x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) sunt puncte ale parabolei, atunci fiecare dintre ecuațiile prezentate este valabilă. Înțelegem asta
a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)
Sistemul rezultat se rezolvă în raport cu a i, b i, c i, unde este necesar să se caute determinantul matricei conform lui Vandermonde. Înțelegem asta
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 și este considerat diferit de zero și nu coincide cu punctele x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Acesta este un semn că ecuația are o singură soluție, apoi coeficienții selectați a i ; b i ; c i poate fi determinat doar într-un mod unic, apoi prin punctele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece doar o parabolă.
Putem trece la găsirea integralei ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.
Este clar că
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i
Pentru a efectua ultima tranziție, este necesar să folosiți o inegalitate a formei
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i
Deci, obținem formula folosind metoda parabolelor:
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Definiția 1
Formula pentru metoda lui Simpson este ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .
Formula de estimare a erorii absolute are forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .
Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite folosind metoda parabolelor
Metoda lui Simpson presupune calculul aproximativ al integralelor definite. Cel mai adesea, există două tipuri de probleme pentru care se aplică această metodă:
- în calculul aproximativ al unei integrale definite;
- la găsirea unei valori aproximative cu o precizie de δ n.
Precizia calculului este afectată de valoarea lui n, cu cât n este mai mare, cu atât valorile intermediare sunt mai precise.
Exemplul 1
Calculați integrala definită ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 folosind metoda lui Simpson, împărțind segmentul de integrare în 5 părți.
Soluţie
Prin condiție se știe că a = 0; b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.
Apoi scriem formula lui Simpson sub forma
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Pentru a-l aplica pe deplin, este necesar să se calculeze pasul folosind formula h = b - a 2 n, să se determine punctele x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n și găsiți valorile funcției integrand f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Calcule intermediare trebuie rotunjit la 5 cifre. Să înlocuim valorile și să obținem
h = b - a 2 n = 5 - 0 2 5 = 0 . 5
Să găsim valoarea funcției în puncte
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795
Claritatea și comoditatea sunt prezentate în tabelul de mai jos
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x i | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x i | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Este necesar să înlocuiți rezultatele în formula metodei parabolelor:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 ++ 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Pentru calcul am ales o integrală definită, care poate fi calculată folosind Newton-Leibniz. Primim:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Răspuns: Rezultatele se potrivesc până la sutimi.
Exemplul 2
Calculați integrala nedefinită ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x folosind metoda lui Simpson cu o precizie de 0,001.
Soluţie
Prin condiție avem că a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Trebuie determinată valoarea lui n. Pentru a face acest lucru, utilizați o formulă de estimare a erorii absolute a metodei Simpson de forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Când găsim valoarea lui n, atunci inegalitatea m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 va fi executat. Apoi, folosind metoda parabolelor, eroarea în calcul nu va depăși 0. 001. Ultima inegalitate ia forma
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88
Acum trebuie să aflăm care este cea mai mare valoare pe care o poate lua modulul derivatei a patra.
f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2
Domeniul de definiție f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 aparține intervalului - 81 16 ; 81 16, și segmentul de integrare însuși [0; π) are un punct extremum, rezultă că m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
Facem înlocuirea:
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159
Am descoperit că n este un număr natural, apoi valoarea lui poate fi egală cu n = 5, 6, 7... mai întâi trebuie să luați valoarea n = 5.
Efectuați acțiuni similare cu exemplul anterior. Trebuie să calculați pasul. Pentru aceasta
h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10
Să găsim nodurile x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , atunci valoarea integrandului va avea forma
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10
Rămâne să înlocuim valorile în formula soluției folosind metoda parabolelor și obținem
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 ++ 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650
Metoda lui Simpson ne permite să obținem o valoare aproximativă a integralei definite ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 cu o precizie de 0,001.
Când calculăm folosind formula Newton-Leibniz, obținem ca rezultat
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463
Răspuns:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
Comentariu
În cele mai multe cazuri, găsirea m a x [ a ; b ] f (4) (x) este problematică. Prin urmare, se folosește o alternativă - metoda parabolelor. Principiul său este explicat în detaliu în secțiunea despre metoda trapezoidală. Metoda parabolelor este considerată metoda preferată pentru rezolvarea integralei. Eroarea de calcul afectează rezultatul n. Cu cât valoarea sa este mai mică, cu atât numărul aproximativ necesar este mai precis.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter