;
3. 
,
Proprietăți: ,
unde matricele sunt pătrate și de aceeași dimensiune. În general, dacă pentru matricele nepătrate este posibil un produs, care va fi o matrice pătrată, atunci este posibilă și existența unei matrici inverse deși 3-proprietatea este încălcată. 
Pentru a găsi matricea inversă, puteți utiliza metoda transformărilor elementare de rând: 1. Compuneți o matrice extinsă atribuind în dreapta matricei originale o matrice de identitate de dimensiunea corespunzătoare:. 
2. Transformări elementare ale rândurilor matriceale G ( 
).
duce la forma: .− rangul necesar al matricei · Minorul ordinului k al unei matrice este un determinant compus din elemente ale matricei originale situate la intersecția oricăror k rânduri și k coloane Comentariu . Fiecare element al matricei este minorul său de ordinul 1. Teorema. Dacă toți minorii de ordinul k dintr-o matrice sunt egali cu zero, atunci toți minorii de ordin superior sunt egali cu zero. Să extindem minorul (determinantul) ( k+1)ordinea prin elementele liniei I: . Complementele algebrice sunt în esență minore k- de ordin, care prin condițiile teoremei sunt egale cu zero. Prin urmare, . · , .
Într-o matrice de ordine, un minor de ordin este numit de bază dacă nu este egal cu zero, iar toate minorele de ordin și mai mari sunt egale cu zero sau nu există deloc, adică. se potrivește cu cel mai mic dintre numere sau . Coloanele și rândurile matricei din care se află baza minoră se numesc bază.. 1. 
, .
2. 
O matrice poate avea mai multe minore de bază diferite care au aceeași ordine. · Ordinea bazei minore a unei matrice se numește rangul matricei Şi notat cu: Este evident că., sunt folosite și abrevieri SLAU, SLU) - un sistem de ecuații, fiecare ecuație în care este o ecuație liniară - algebrică de gradul I. 
Vedere generală a sistemului de ecuații algebrice liniare: 
Aici este numărul de ecuații și este numărul de variabile, sunt necunoscutele care trebuie determinate, coeficienți și termeni liberi se presupune că sunt cunoscute. Sistemul este numit omogen, dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero (), în caz contrar - 
eterogen . Soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare este un set de numere astfel încât înlocuirea corespunzătoare a lui în sistem transformă toate ecuațiile sale în identități. Un sistem se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție. Soluțiile sunt considerate diferite dacă cel puțin una dintre valorile variabilelor nu coincide. Un sistem comun cu o singură soluție se numește definit dacă există mai multe soluții, se numește subdeterminat. Forma matriceală Un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca: 
sau: . Aici este matricea sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Dacă o coloană de termeni liberi este adăugată la dreapta unei matrice, atunci matricea rezultată se numește extinsă. 
Teorema Kronecker-Capelli 
Teorema Kronecker-Capelli 
stabileşte necesarul şi 
În determinanți, coloana de coeficienți pentru necunoscuta corespunzătoare este înlocuită cu o coloană de termeni liberi ai sistemului. Soluţie: 5. Metoda Gaussiană Algoritm de rezolvare: 1. Scrieți matricea extinsă 2. Reduceți-o la o formă treptată prin transformări elementare 3. Inversați mișcarea, timp în care exprimăm termenii de bază în termeni de cei liberi. O matrice augmentată se obține prin adăugarea unei coloane de termeni inactivi la matrice. Există următoarele transformări elementare: 1. Rândurile matricei pot fi rearanjate. 2. Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special, identice) în matrice, atunci toate aceste rânduri ar trebui eliminate din matrice, cu excepția unuia. 3. Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șters. 4. Un rând de matrice poate fi înmulțit (împărțit) cu orice număr, diferit de zero
. 5. Puteți adăuga un alt rând la un rând de matrice, înmulțit cu un alt număr decât zero. Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații Revers: De obicei, acele variabile care sunt situate pe primele locuri în rândurile nenule ale matricei transformate ale sistemului sunt luate ca variabile de bază, adică. pe „trepte”.
În continuare, termenii de bază sunt exprimați în termeni liberi. Mergem „de jos în sus”, exprimând simultan termenii de bază și substituind rezultatele în ecuația superioară. Exemplu: variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei. În acest exemplu, variabilele de bază sunt și variabilele libere sunt toate variabilele rămase care nu au primit un pas. În cazul nostru există două dintre ele: – variabile libere.
Acum ai nevoie de tot variabile de bază exprima numai prin variabile libere
.
Reversul algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus
Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea Se numește matricea A -1, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.
Algoritm pentru găsirea matricei inverse
- Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
- Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
- Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
- Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.
Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1
Rezolvare: Scriem matricea A și atribuim matricea de identitate E la dreapta Folosind transformările Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date în Tabelul 31.1.
Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.
Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost efectuate corect.
Răspuns: 
Rezolvarea ecuațiilor matriceale
Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:
AX = B, HA = B, AXB = C,
unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.
Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.
De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.
Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.
Alte ecuații se rezolvă în mod similar.
Rezolvați ecuația AX = B dacă 
Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)
Metoda matriceală în analiza economică
Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.
În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.
La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).
La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.
După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoare și se formează o matrice de coeficienți standardizați.
La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.
Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating Rj sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.
Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, când analiză comparativă diverse proiecte de investitii, precum și la evaluarea altor indicatori economici ai organizațiilor.
§6. Proprietățile determinanților
§7. Matrice inversă
Matrici nesingulare și singulare
Matrice inversă
Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse
Algoritm pentru calcularea matricei inverse folosind formula
Calcularea matricei inverse folosind transformări elementare
§ 6. Proprietățile determinanților
1. Dacă orice rând (coloană) al matricei este egal cu zero, atunci determinantul său este egal cu zero.
Corolarul 1. Dacă o matrice pătrată conține două rânduri (coloane) identice, atunci determinantul ei este zero.
Corolarul 2. Dacă elementele a două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.
2. Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) unei matrice sunt înmulțite cu un număr, determinantul acestuia va fi înmulțit cu acest număr.
Comentariu. Semnul determinantului poate fi considerat factorul comun al oricărui rând (coloană), spre deosebire de o matrice, al cărei semn poate fi luat doar ca fiind factorul comun al tuturor elementelor.
3. Când o matrice este transpusă, determinantul ei nu se schimbă.
4. Când două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt interschimbate, determinantul acesteia își schimbă semnul în cel opus.
5. Determinantul matricei nu se modifică dacă la orice rând (coloană) se adaugă un alt rând (coloană) înmulțit cu un număr.
6. Determinantul produsului a două matrice pătrate este egal cu produsul determinanților lor, adică.
Comentariu.
Chiar dacă O∙· ≠ ·∙O, 
.
Deci, folosind proprietățile determinanților, putem reduce orice determinant la o formă triunghiulară. Să ne uităm la acest proces cu un exemplu.
Exemplu. Calculați determinant 
Soluţie.
§ 7. Matrice inversă
Pentru fiecare număr O¹ 0 există un număr invers O–1 astfel încât O· O–1 = 1. Pentru matricele pătrate se introduce un concept similar.
Luați în considerare o matrice pătrată
.
Matrice pătrată O numit Se numește matricea A -1, dacă determinantul său este diferit de zero și degenera dacă determinantul său este zero.
Matrice pătrată O–1 este numit verso pentru o matrice pătrată O, dacă produsul lor atât din stânga cât și din dreapta este egal cu matricea de identitate:
O · O –1 = A–1 · A = E.
Spre deosebire de numere, nu orice matrice pătrată are un invers.
Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse). Pentru ca matricea A să aibă inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nedegenerată.
4.1 MATRICE INVERSA ȘI RANG MATRICE
Matrice pătrată O comandannumit Se numește matricea A -1(sau nu deosebite), Dacă det O≠ 0. Altfel matricea O – degenera(sau special). MatriceO este verso pentru o matrice pătrată nesingulară O, Dacă O A AA E , Unde E- matricea unitară de ordinen:
.
Teorema 4.1. (o condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse). Acum ai nevoie de tot O există dacă și numai dacă matricea originală Onedegenerat.
Dovada . Necesitate. Lasă matriceaO are invers O , adică O A AA E . Prin proprietatea a 10 determinanți avemD(O O ) = D(O ) D(O) D(E) = 1 și prin urmareD(O ) 0.
Adecvarea. Lasă D(O ) 0. Considerăm o matrice pătrată n-a ordine, numitanexat. Elementele sale sunt complementele algebrice ale elementelor matricei, transpus la matrice O:
.
Este ușor să arăți asta
.
Rezultă că dacă luăm matricea ca matrice inversăO , apoi produseleO O Şi A.A. egal cu matricea de identitateE n-a comanda: O O A.A. E .
Rangmatrici O (notat rang O sau r(O)) este cea mai mare ordine a minorilor (determinanți) non-zero generați de acesta. Orice minor diferit de zero al unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul său se numește sa minor de bază. Rândurile și coloanele implicate în formarea minorului de bază vor fi, de asemenea, de bază. O matrice poate avea mai multe minore de bază, dar toate ordinele lor sunt aceleași și egale cu rangul matricei.
Rangul matricei nu se va schimba dacă:
1) schimbați rândurile și coloanele matricei;
2) rearanjați oricare două dintre coloanele (rândurile) ale acesteia;
3) eliminați o coloană (rând) din ea, toate elementele care sunt egale cu zero;
4) eliminați o coloană (rând) din aceasta, care este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase;
5) înmulțiți coloana (rândul) sa arbitrară cu orice număr diferit de zero;
6) la oricare dintre coloanele (rândurile) acesteia adăugați o combinație liniară arbitrară a coloanelor (rândurilor) rămase din această matrice.
Transformările 2) - 6) se numesc elementar. Cele două matrice sunt echivalent, dacă una se obține din cealaltă folosind transformări elementare și se notează ca O~·.
Următoarele relații sunt valabile pentru rândurile matricelor:
1) r(O+ ÎN ) r(O) + r(B),
Adăugarea matricei.
Proprietăți suplimentare:
· A + B = B + A.
· (A + B) + C = A + (B + C).
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
· k(A + B) = kA + kB.
· (k + m)A = kA + mA.
Înmulțirea matricei.
Matrice inversă.
Proprietățile determinanților
4. Teorema substituției.
5. Teorema anulării.
completări la aceste elemente
unde i=, 
Matrici de transpunere.
Matrice transpusă
O T [ i, j] = O[j, i].
De exemplu,
Şi 
Suprafețe cilindrice.
O suprafață formată prin mișcarea unei drepte L, care se deplasează în spațiu, menținând o direcție constantă și intersectând de fiecare dată o anumită curbă K, se numește suprafață cilindrică sau curba K este ghidul cilindrului, iar L este generatorul acestuia.
Cilindru eliptic
Ecuație eliptică: 
Un caz special cilindru eliptic este cilindru circular, ecuația sa este x 2 + y 2 = R 2 . Ecuația x 2 =2pz se definește în spațiu cilindru parabolic.
Ecuaţie: 
definește în spațiu cilindru hiperbolic.
Toate aceste suprafețe sunt numite cilindri de ordinul doi, deoarece ecuațiile lor sunt ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente x, y, z.
62. Elipsoide.
Să examinăm suprafața definită de ecuație: 
Să considerăm secțiuni ale unei suprafețe cu plane paralele cu planul xOy. Ecuațiile unor astfel de plane: z=h, unde h este orice număr. Linia obținută în secțiune este determinată de două ecuații:
Să examinăm suprafața:
A) dacă 
Că 
Linia de intersecție a suprafeței cu planele z=h nu există.
B) dacă 
, 
linia de intersecție degenerează în două puncte (0,0,c) și (0,0,-c). Planul z = c, z = - c atinge suprafața dată.
B) dacă 
, atunci ecuațiile pot fi rescrise astfel: 
, după cum se vede, linia de intersecție este o elipsă cu semiaxele a1 = 
, b1 = 
. În acest caz, cu cât h este mai mic, cu atât semiaxele sunt mai mari. La n=0 ei ating cele mai mari valori: a1=a, b1=b. Ecuațiile vor lua forma: 
Secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea suprafeței ca o suprafață ovală închisă. Suprafața se numește elipsoid Dacă orice semiaxă este egală, elipsoidul triaxial se transformă într-un elipsoid de revoluție, iar dacă a=b=c, atunci într-o sferă. 
Hiperboloizi.
1. Examinați suprafața 
.
Intersectând suprafața cu planul z=h, obținem o dreaptă de intersecție ale cărei ecuații au forma
z=h. sau z=hsemiaxa: a1= 
b1= 
semiaxele ating valoarea minimă la h=0: a1=a, b1=b. Pe măsură ce h crește, semiaxele elipsei vor crește. => 
x=0.
Analiza acestor secțiuni arată că suprafața definită de ecuație are forma unui tub în expansiune infinită. Suprafața se numește hiperboloid cu o singură foaie. 
2. 
-
ecuația suprafeței.
k- 
-
o suprafață formată din 2 cavități în formă de boluri convexe nelimitate. Suprafața se numește hiperboloid cu două foi. 
64. paraboloizi.
. -Acest paraboloid eliptic.
Ecuație canonică: 
(p>0, q>0).
p = q este un paraboloid de rotație în jurul axei Oz.
Secțiunile unui paraboloid eliptic sunt fie o elipsă, fie o parabolă, fie un punct.
2. - paraboloid hiperbolic. 
Secțiunile unui paraboloid hiperbolic pe planuri sunt fie o hiperbolă, fie o parabolă, fie o pereche de linii drepte (generatoare rectilinii).
65. Suprafețe canonice.
Ecuația canonică: 
a = b - con de rotație (circular drept)
Secțiuni ale unui con pe plane: în planul care intersectează toate generatricele rectilinie - o elipsă; într-un plan paralel cu o generatrică rectilinie - o parabolă; într-un plan paralel cu două generatoare rectilinii - o hiperbolă; în planul care trece prin vârful conului - o pereche de drepte care se intersectează sau un punct (vârf).
66. Funcția. Concepte de bază. Modalități de a seta.
O funcție este o lege conform căreia un număr x dintr-o mulțime dată X este asociat cu un singur număr y, scris , în timp ce x se numește argumentul funcției, y
numită valoarea funcției.
1. Metodă analitică.
2. Metoda grafică.
3. Metoda verbală.
4. Metoda tabulară.
Teorema comparației.
în teoria ecuațiilor diferențiale, o teoremă care afirmă prezența unei anumite proprietăți a soluțiilor unei ecuații diferențiale (sau a unui sistem de ecuații diferențiale) în ipoteza că o ecuație auxiliară sau o inegalitate (sistem) are o anumită proprietate ecuații diferențiale sau inegalități).
1) Teorema lui Sturm: orice soluție netrivială a ecuației dispare pe interval de cel mult de m ori dacă ecuația și pentru au această proprietate.
2) Inegalitatea diferențială: soluția problemei este nenegativă din punct de vedere al componentelor dacă soluția problemei are această proprietate și inegalitățile sunt satisfăcute
Prima este o limită minunată.
Când se calculează limitele expresiilor care conțin funcții trigonometrice, limita este adesea folosită 
numit prima limită remarcabilă.
Se citește: limita raportului dintre sinus și argumentul său este egală cu unu atunci când argumentul tinde spre zero.
Dovada:
Să luăm un cerc cu raza 1 și să notăm cu x măsura în radian a unghiului MOV. fie 0 
. Evident, avem. Pe baza formulelor de geometrie corespunzătoare, obținem 
. Să împărțim inegalitatea la 
>0, obținem 1< 
Deoarece 
, apoi în funcție de criteriu (despre limită functie intermediara) existenţa limitelor 
.
Și dacă x<0 => 
, unde –x>0 => 
83. A doua limită remarcabilă.
După cum se știe, limita unei secvențe de numere 
, are o limită egală cu e. 
. 1.Lasă 
. Fiecare valoare x este închisă între două numere întregi pozitive: 
, unde n=[x] este partea întreagă a lui x. Rezultă deci că 
. Dacă , Asta 
. De aceea: 
,
Pe baza existenței limitelor: . 2. Lasă 
. Să facem înlocuirea –x=t, apoi = 
. 
Şi 
numită a doua limită remarcabilă. Ele sunt utilizate pe scară largă în calcularea limitelor. În aplicațiile analitice, funcția exponențială cu baza e joacă un rol important. Funcţie 
se numește exponențial, se folosește și notația 
.
Dovada.
(ținând cont că dacă Dx®0, atunci Du®0, deoarece u = g(x) este o funcție continuă)
Apoi 
. Teorema a fost demonstrată.
teorema lui Cauchy
Teorema lui Cauchy:
Dacă funcţiile f(x) şi 
sunt continue pe interval, diferențiabile pe intervalul (a,b) și 
Pentru 
, atunci există cel puțin un punct 
, astfel încât egalitatea să fie valabilă 
.
Matrici. Concepte de bază. Operații liniare pe matrice și proprietățile acestora.
O matrice de dimensiunea m cu n este o colecție de mn numere reale (complexe) sau elemente ale unei alte structuri (polinoame, funcții etc.), scrise sub forma unui tabel dreptunghiular, care constă din m rânduri și n coloane și luate în paranteze drepte rotunde sau dreptunghiulare sau duble. În acest caz, numerele în sine sunt numite elemente de matrice și fiecare element este asociat cu două numere - numărul rândului și numărul coloanei.
O matrice ale cărei elemente sunt toate zero se numește matrice zero
O matrice de dimensiunea n cu n se numește matrice pătrată de ordinul al n-lea, adică. numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane.
O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale în afara diagonalei sunt zero.
O matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu 1 se numește matrice de identitate
Adăugarea matricei.
Proprietăți suplimentare:
· A + B = B + A.
· (A + B) + C = A + (B + C).
· Dacă O este o matrice zero, atunci A + O = O + A = A
Observație 1. Valabilitatea acestor proprietăți rezultă din definiția operației de adunare a matricei.
Observație 2. Rețineți că numai matrice de aceeași dimensiune pot fi adăugate.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr
· k(A + B) = kA + kB.
· (k + m)A = kA + mA.
Observație 1. Valabilitatea proprietăților rezultă din Definițiile 3.4 și 3.5.
Observația 2. Să numim diferența matricelor A și B o matrice C pentru care C+B=A, adică C=A+(-1)B.
Înmulțirea matricei.
Înmulțirea unei matrice cu o matrice necesită, de asemenea, să fie îndeplinite anumite condiții pentru dimensiunile factorilor și anume: numărul de coloane al primului factor trebuie să fie egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.
Pentru matrice pătrată de același ordin, produsele AB și BA există și au aceeași dimensiune, dar elementele lor corespunzătoare nu sunt în general egale.
Cu toate acestea, în unele cazuri produsele AB și BA coincid
Matrice inversă.
O matrice pătrată A se numește singulară dacă ∆A=0 și nesingulară dacă ∆A≠0
O matrice pătrată B se numește inversa unei matrice pătrate A de același ordin dacă AB = BA = E. În acest caz, B se notează
Pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca matricea originală să fie nesingulară.
2. Determinant de matrice. Proprietățile determinanților.
Determinant (sau determinant) este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Determinantul unei matrice este un polinom al elementelor unei matrice pătrate (adică unul în care numărul de rânduri și coloane este egal). În general, o matrice poate fi definită peste orice inel comutativ, caz în care determinantul va fi un element al aceluiași inel. (∆A)
Proprietățile determinanților
· Determinantul este o funcție poliliniară oblică-simetrică a rândurilor (coloanelor) matricei. Multiliniaritatea înseamnă că determinantul este liniar pe toate rândurile (coloanele): , unde etc. sunt rândurile matricei, este determinantul unei astfel de matrice.
· Când adăugați o combinație liniară de alte rânduri (coloane) la orice rând (coloană), determinantul nu se va schimba.
· Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice coincid, atunci determinantul acesteia este zero.
· Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.
· Dacă rearanjați două rânduri (coloane) ale unei matrice, atunci determinantul acesteia este înmulțit cu (-1).
· Factorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.
· Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este egal cu zero.
· Suma produselor tuturor elementelor oricărui rând prin complementele lor algebrice este egală cu determinantul.
· Suma produselor tuturor elementelor oricărei serii prin complementele algebrice ale elementelor corespondente ale unei serii paralele este zero.
· Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestora (vezi și formula Binet-Cauchy).
· Folosind notația de index, determinantul unei matrice 3x3 poate fi determinat folosind simbolul Levi-Civita din relația:
3. Minori și complemente algebrice.
Minorul unui element de matrice de ordinul al n-lea este determinantul unei matrice de ordinul (n-1) obținut din matricea A prin ștergerea rândului i și coloanei j-a.
La scrierea determinantului ordinului (n-1), în determinantul inițial nu sunt luate în considerare elementele situate sub linii.
Complementul algebric Aij al unui element aij de o matrice de ordin al n-lea este minorul acestuia, luat cu un semn, în funcție de numărul rândului și numărul coloanei: adică complementul algebric coincide cu minorul atunci când suma rândului și numerele coloanei este un număr par și diferă de semnul minor, atunci când suma numerelor rândurilor și coloanelor este un număr impar.
4. Teorema substituției.
Sumele produselor numerelor arbitrare bi ,b2,...,b prin complementele algebrice ale elementelor oricărei coloane sau rânduri ale unei matrici de ordin n sunt egale cu determinantul matricei, care se obține din aceasta prin înlocuirea elementelor acestei coloane (rând) cu numerele b1,b2,...,bn.
5. Teorema anulării.
Suma produselor elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) matricei prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor altei coloane (rânduri) este egală cu zero.
6. Câteva metode de calcul al determinanților.
Teorema (Laplace). Determinant al unei matrice de ordin N = suma produsului tuturor minorilor de ordinul k, care poate fi compus din k serii paralele alese arbitrar și complemente algebrice ale acestor minore
Teoremă (cu privire la extinderea determinantului în elemente ale unei serii). Calificativ mp. matrice = suma produselor elementelor unei anumite serii și algebrice
completări la aceste elemente
7. Înmulțirea matricei. Proprietățile înmulțirii.
Operația de înmulțire a două matrice este introdusă numai în cazul în care numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.
Produsul matricei A m * n = (a i , g) cu matricea B n * p = (b i , k) este o matrice Cm*p = (c i , k) astfel încât: ,
unde i=, , adică elementul coloanelor i-a și k-a a matricei de produs C este egal cu suma produselor elementelor din rândul i-a al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei k-a a matricei B .
Matricele A, n*m și B, m*n, numite. convenit. (dacă A este compatibil cu B, aceasta nu înseamnă că B este compatibil cu A).
Semnificația consistenței este că numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice. Pentru matricele potrivite, poate fi definită o operație de înmulțire.
Dacă matricele A și B sunt pătrate și de aceeași dimensiune, atunci A*B și B*A există întotdeauna. Transpunerea este schimbarea tuturor elementelor unei coloane în elementele corespunzătoare ale unui rând. Dacă A T =A, atunci se numește matricea A. simetric (trebuie să fie pătrat).
Matrici de transpunere.
Matrice transpusă- matrice obtinuta din matricea originala prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Formal, matricea transpusă pentru o matrice de dimensiune este o matrice de dimensiune, definită ca O T [ i, j] = O[j, i].
De exemplu,
Şi
Matrice inversă. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse. Aflarea matricei inverse.
Să fie o matrice A - nesingulară. 
A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, unde E este matricea de identitate. A -1 are aceleași dimensiuni ca și A.
Algoritm pentru găsirea matricei inverse:
1. În locul fiecărui element al matricei a ij scriem complementul algebric al acestuia.
A* este o matrice de unire.
2. transpuneți matricea de unire rezultată. A*T
3. împărțiți fiecare element al matricei de unire la determinantul matricei A.
A -1 = A *T
Teorema: (despre anularea determinantului):
suma produselor elementelor unei anumite serii ale unui determinant prin complementul algebric la elementele unei alte serii paralele este întotdeauna egală cu zero.
10. Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare și soluțiile acestuia.
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi 
Să găsim de lucru
aceste. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale acest sistem poate fi scris sub forma
sau mai scurt O∙X=B.
Iată matricele OŞi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | O| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei O: . Din moment ce A -1 A = EŞi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B.
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea O nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
11. Soluție nedegenerată sisteme liniare, formulele lui Cramer.
Se obișnuiește să scrieți SLAE-uri în formă de matrice, când necunoscutele în sine nu sunt indicate, ci sunt indicate doar matricea sistemului A și coloana de termeni liberi B.
Rezolvarea SLAE-urilor nedegenerate folosind metoda lui Cramer:
A -1 = 
X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)
Teorema: (Cramer):
rezolvarea ecuațiilor nedegenerate AX=B, 
se poate scrie asa:
, Ak se obține din A prin înlocuirea coloanei k-a cu coloana termenului liber B.
12. Rangul matricei. Proprietățile rangului matricei. Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare.
Se numește numărul maxim de rânduri dependente liniar ale matricei A. rangul matricei și denotația r(a). Se numește cel mai mare dintre ordinele minore ale unei matrice date, alta decât 0 rangul matricei.
matricea are o matrice inversă.
1) la transpunerea rang=const.
2) dacă tăiați rândul zero, atunci song=const;
3)rang=cost, cu transformări elementare.
3) pentru a calcula rangul folosind elementul, transformați matricea A în matricea B, al cărei rang este ușor de găsit.
4) rangul triunghiului matriceal = numărul de elemente nenule situate pe diagonalele principale.
Metode pentru găsirea rangului unei matrice:
1) metoda de limitare a minorilor
2) metoda transformărilor elementare
Metoda minorilor în graniță:
Metoda limitării minorilor vă permite să algoritmizați procesul de găsire a matricei de rang și vă permite să minimizați numărul de calcule ale minorilor.
1) dacă matricea are toate elementele zero, atunci rang = 0
2) dacă există cel puțin un element diferit de zero => r(a)>0
Acum vom margini M1 minor, i.e. vom construi toți minorii posibili de ordinul 2, ktr. conține al-lea rând și j-a coloană până când găsim un minor diferit de zero de ordinul 2.
Procesul va continua până când apare unul dintre următoarele evenimente:
1. Mărimea minorului va ajunge la numărul k.
2. la un moment dat, toți minorii granițați se vor dovedi a fi = 0.
În ambele cazuri, mărimea matricei de rang va fi egală cu ordinul minorului mai mare, diferit de zero.
Metoda de transformare elementară:
După cum se știe, conceptul de matrice triunghiulară este definit doar pentru matrice pătrată. Pentru matricele dreptunghiulare, un analog este conceptul de matrice trapezoidală.
De exemplu: 
rang = 2.