Глава 1. ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК И БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ

1.1. Основные зависимости теории изгиба балок

Балками принято называть стержни, работающие на изгиб под действием поперечной (нормальной к оси стержня) нагрузки. Балки – наиболее распространенные элементы судовых конструкций. Ось балки – геометрическое место центров тяжести ее поперечных сечений в недеформированном состоянии. Балка называется прямой, если осью является прямая линия. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений балки в изогнутом состоянии называется упругой линией балки. Принято следующее направление осей координат: ось OX совмещена с осью балки, а оси OY и OZ – с главными центральными осями инерции поперечного сечения (рис. 1.1).

Теория изгиба балок основывается на следующих допущениях.

1. Принимается гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения балки, первоначально плоские и нормальные к оси балки, остаются после ее изгиба плоскими и нормальными к упругой линии балки. Благодаря этому деформацию изгиба балки можно рассматривать независимо от деформации сдвига, которая вызывает искажение плоскостей поперечных сечений балки и их поворот относительно упругой линии (рис. 1.2, а ).

2. Нормальными напряжениями в площадках, параллельных оси балки, пренебрегают из-заих малости (рис. 1.2, б ).

3. Балки считаются достаточно жесткими, т.е. прогибы их малы по сравнению с высотой балок, а углы поворота сечений малы по сравнению с единицей (рис.1.2, в ).

4. Напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, т.е. справедлив закон Гука (рис. 1.2, г ).

Рис. 1.2. Допущения теории изгиба балок

Будем рассматривать появляющиеся при изгибе балки в ее сечении изгибающие моменты и перерезывающие силы как результат действия мысленно отбрасываемой по сечению части балки на оставшуюся ее часть.

Момент всех действующих в сечении усилий относительно однойиз главных осей называется изгибающим моментом. Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил (включая опорные реакции и моменты), действующих на отброшенную часть балки, относительно указанной оси рассматриваемого сечения.

Проекция на плоскость сечения главного вектора усилий, действующих в сечении, называется перерезывающей силой. Она равна сумме проекций наплоскость сечения всех сил (включая опорные реакции), действующих на отброшенную часть балки .

Ограничимся рассмотрением изгиба балки, происходящего в плоскости XOZ . Такой изгиб будет иметь место в случае, когда поперечная нагрузка действует в плоскости, параллельной плоскости XOZ , а ее равнодействующая в каждом сечении проходит через точку, называемую центром изгиба сечения. Заметим, что для сечений балок,имеющих две осисимметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести, а для сечений, имеющих одну ось симметрии, он лежит на осисимметрии, но не совпадает с центром тяжести.

Нагрузка входящих в состав судового корпуса балок может быть либо распределенной (чаще всего равномерно распределенной вдоль оси балки, или изменяющейся по линейному закону), либо приложенной в виде сосредоточенных сил и моментов.

Обозначим интенсивность распределенной нагрузки (нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q (x ), внешнюю сосредоточенную силу – как Р , а внешний изгибающий момент – как М . Распределенная нагрузка и сосредоточенная сила положительны, если направления их действия совпадают с положительным направлением оси OZ (рис. 1.3,а ,б ). Внешний изгибающий момент положителен, если он направлен по часовой стрелке (рис.1.3,в ).

Рис. 1.3. Правило знаков для внешних нагрузок

Обозначим прогиб прямой балки при ее изгибе в плоскости XOZ через w , а угол поворота сечения – через θ. Примем правило знаков для элементов изгиба (рис. 1.4):

1) прогиб положителен, если он совпадает с положительным направлением оси OZ (рис. 1.4, а ):

2) угол поворота сечения положителен, если в результате изгиба сечение поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.4, б );

3) изгибающие моменты положительны, если балка под их воздействием изгибается выпуклостью вверх (рис. 1.4, в );

4) перерезывающие силы положительны, если они поворачивают выделенный элемент балки против часовой стрелки (рис. 1.4, г ).

Рис. 1.4. Правило знаков для элементов изгиба

На основании гипотезы плоских сечений можно видеть (рис. 1.5), что относительное удлинение волокна ε x , отстоящего на z от нейтральной оси, будет равно

ε x = −z /ρ ,(1.1)

где ρ – радиус кривизны балки в рассматриваемом сечении.

Рис. 1.5. Схема изгиба балки

Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной и производными от w (x ) существует зависимость

В силу принятого допущения о малости углов поворота для достаточно жестких балок величина мала по сравнению с единицей , поэтому можно считать, что

Подставив 1/ρ из (1.2) в (1.1), получим

Нормальные напряжения от изгиба σ x на основании закона Гука будут равны

Поскольку из определения балок следует, что продольное усилие, направленное вдоль оси балки, отсутствует, главный вектор нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е.

где F – площадь поперечного сечения балки.

Из (1.5) получим, что статический момент площади сечения балки равен нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести.

Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно нейтральной оси, M y будет

Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси OY равен , и подставить это значение в (1.6), то получим зависимость, которая выражает основное дифференциальное уравнение изгиба балки

Момент внутреннихусилий в сечении относительно оси OZ будет

Поскольку оси OY и OZ по условию являются главными центральными осями сечения, то .

Отсюда следует, что при действии нагрузки в плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет плоской кривой. Такой изгиб называется плоским . На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим

Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок пропорциональны отстоянию от нейтральной оси балки. Естественно, что это вытекаетиз гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки

где |z | max – абсолютное значение отстояния наиболее удаленного волокна от нейтральной оси.

В дальнейшем нижние индексы y для упрощения опущены.

Между изгибающим моментом, перерезывающей силой и интенсивностью поперечной нагрузки существует связь, вытекающая из условия равновесия элемента, мысленно выделенного из балки.

Рассмотрим элемент балки длиной dx (рис. 1.6). Здесь принимается, что деформации элемента пренебрежимо малы.

Если в левом сечении элемента действует момент M и перерезывающая сила N , то в правом его сечении соответствующие усилия будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения .

Рис.1.6. Усилия, действующие на элемент балки

Приравняв нулю проекцию на ось OZ всех усилий, действующих на элемент, и момент всех усилий относительно нейтральной оси правого сечения, получим:

Из этих уравнений с точностью до величин высшего порядка малости получим

Из (1.11) и (1.12) следует, что

Зависимости (1.11)–(1.13) известны под названием теоремы Журавского–Шведлера .Из этих зависимостей следует, что перерезывающая сила и изгибающий момент могут быть определены путем интегрирования нагрузки q :

где N 0 и M 0 – перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении, соответствующем x = x 0 , которое принимается за начало отсчета; ξ, ξ 1 – переменные интегрирования .

Постоянные N 0 и M 0 для статически определимых балок могут быть определены из условий их статического равновесия.

Если балка статически определимая, изгибающий момент влюбом сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.7). Однако в конструкциях судового корпуса статически определимые балки встречаются крайне редко. Большинство балок, входящих в состав судовых конструкций, образует многократно статически неопределимые системы. В этих случаях для определения упругой линии уравнение (1.7) является неудобным, и целесообразно перейти к уравнению четвертого порядка.

1.2. Дифференциальное уравнение изгиба балок

Дифференцируя уравнение (1.7) для общего случая, когда момент инерции сечения является функцией от x , с учетом (1.11) и (1.12) получим:

где штрихами обозначено дифференцирование по x .

Для призматических балок, т.е. балок постоянного сечения, получим следующие дифференциальные уравнения изгиба:

Обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка (1.18) можно представить в виде совокупности четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

Используем далееу равнение (1.18) или систему уравнений (1.19) для определения прогиба балки (ее упругой линии) и всех неизвестных элементов изгиба: w (x ), θ (x ), M (x ), N (x ).

Интегрируя (1.18) последовательно 4 раза (считая, чтолевому концу балки соответствует сечение x = x a ), получим:

Нетрудно видеть, что постоянные интегрирования N a , M a , θ a , w a имеют определенный физический смысл, а именно:

N a – перерезывающая сила в начале отсчета, т.е. при x = x a ;

M a – изгибающий момент в начале отсчета;

θ a – угол поворота в начале отсчета;

w a – прогиб в этом же сечении.

Для определения указанных постоянных всегда можно составить четыре граничных условия – по два для каждого конца однопролетной балки. Естественно, что граничные условия зависят от устройства концов балки. Простейшие условия соответствуют шарнирному опиранию на жесткие опоры или жесткой заделке.

При шарнирном опирании конца балки на жесткой опоре (рис. 1.7, а ) прогиб балки и изгибающий момент равны нулю:

При жесткой заделке на жесткой опоре (рис. 1.7, б ) равны нулю прогиб и угол поворота сечения:

Если конец балки (консоль) свободен (рис. 1.7, в ), то в этом сечении равны нулю изгибающий момент и перерезывающая сила:

Возможна ситуация, связанная со скользящей заделкой или заделкой по симметрии (рис. 1.7, г ). Это приводит к таким граничным условиям:

Заметим, что граничные условия (1.26), касающиеся прогибов и углов поворота, принято называть кинематическими , а условия (1.27) – силовыми .

Рис. 1.7. Виды граничных условий

В судовых конструкциях часто приходится иметь дело с более сложными граничными условиями, которые соответствуют опиранию балки на упругие опоры или упругой заделке концов.

Упругой опорой (рис. 1.8, а ) называется опора,имеющая просадку, пропорциональную действующей на опору реакции. Будем считать реакцию упругой опоры R положительной, если она действует на опору в сторону положительного направления оси OZ . Тогда можно записать:

w = AR ,(1.29)

где A – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом податливости упругой опоры.

Этот коэффициент равен просадке упругой опоры при действии реакции R = 1, т.е. A = w R = 1 .

Упругими опорами в судовых конструкциях могут быть балки, подкрепляющиерассматриваемую балку, или пиллерсы и другие конструкции, работающие на сжатие.

Для определения коэффициента податливости упругой опоры A необходимо загрузить соответствующую конструкцию единичной силой и найти абсолютную величину просадки (прогиб) в месте приложения силы. Жесткая опора – частный случай упругой опоры при A = 0.

Упругой заделкой (рис. 1.8, б ) называется такая опорная конструкция, которая препятствует свободному повороту сечения и в которой угол поворота θ в этом сечении пропорционален моменту, т.е. имеетместо зависимость

θ =Â M .(1.30)

Множитель пропорциональности Â называется коэффициентом податливости упругой заделки и может быть определен, как угол поворота упругой заделки при M = 1, т.е. Â = θ M = 1 .

Частным случаем упругой заделки при Â = 0 является жесткая заделка. В судовых конструкциях упругими заделками обычно являются балки, нормальные к рассматриваемой и лежащие в этой же плоскости. Например, упруго заделанными на шпангоутах можно считать бимсы и т.п.

Рис. 1.8. Упругая опора (а ) и упругая заделка (б )

Если концы балки длиной L оперты на упругие опоры (рис. 1.9), то реакции опор в концевых сечениях равны перерезывающим силам, и граничные условия можно записать:

Знак минус в первом условии (1.31) принят потому, что положительная перерезывающая сила в левом опорном сечении соответствует реакции, действующей на балку сверху вниз, а на опору – снизу вверх.

Если концы балки длиной L упругозаделанные (рис. 1.9), то для опорных сечений, учитывая правило знаков для углов поворота и изгибающих моментов, можно записать:

Знак минус во втором условии (1.32) принят потому, что при положительном моменте в правом опорном сечении балки момент, действующий на упругую заделку, направлен против часовой стрелки, а положительный угол поворота в этом сечении направлен по часовой стрелке, т.е. направления момента и угла поворота не совпадают.

Рассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов и их производных, так и действующих на балку нагрузок. Линейность является следствием допущений о справедливости закона Гука и малости прогибов балки.

Рис. 1.9. Балка, оба конца которой упруго оперты и упруго заделаны (а );

усилия в упругих опорах и упругих заделках, соответствующие положительным
направлениям изгибающего момента и перерезывающей силы (б )

При действии на балку нескольких нагрузок каждый элемент изгиба балки (прогиб, угол поворота, момент и перерезывающая сила) представляет собой сумму элементов изгиба от действия каждой из нагрузок в отдельности. Это очень важное положение, называемое принципом наложения, или принципом суммирования действия нагрузок, широко используется в практических расчетах и, в частности, для раскрытия статической неопределимости балок.

1.3. Метод начальных параметров

Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба балки может быть использован для определения упругой линии однопролетной балки в том случае, когда нагрузка балки представляет собой непрерывную функцию координаты на протяжении всего пролета. Если в составе нагрузки встречаются сосредоточенные силы, моменты или распределенная нагрузка действует на части длины балки (рис. 1.10), то непосредственно использовать выражение (1.24) нельзя. В этом случае можно было бы, обозначив упругие линии на участках 1, 2 и 3 через w 1 , w 2 , w 3 , выписать для каждойиз них интеграл в виде (1.24) и найти все произвольные постоянные из граничных условий на концах балки и условий сопряжения на границах участков. Условия сопряжения в рассматриваемом случае выражаются так:

при x=a 1

при x=a 2

при x=a 3

Нетрудно заметить, что такой путь решения задачи приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n , где n – число участков по длине балки.

Рис. 1.10. Балка, на отдельных участках которой приложены нагрузки разных типов

Значительно удобнее представить упругую линию балки в виде

где члены за двойной чертой учитываются при x ³ a 1, x ³ a 2 и т.д.

Очевидно, что δ 1 w (x )=w 2 (x )−w 1 (x ); δ 2 w (x )=w 3 (x )−w 2 (x ); и т.д.

Дифференциальные уравнения для определения поправок к упругой линии δ i w (x ) на основании (1.18) и (1.32) можно записать в виде

Общий интеграл для любой поправки δ i w (x ) к упругой линии может быть записан в виде (1.24) при x a = a i . При этом параметры N a , M a , θ a , w a имеют смысл изменения (скачка) соответственно: в перерезывающей силе, изгибающем моменте, угле поворота и стрелке прогиба при переходе через сечение x = a i . Такой прием называется методом начальных параметров. Можно показать, чтодля балки, приведенной на рис. 1.10, уравнение упругой линии будет

Таким образом, метод начальных параметров дает возможность и при наличии разрывности в нагрузках записать уравнение упругой линии в виде, содержащем лишь четыре произвольных постоянных N 0 , M 0 , θ 0 , w 0 , которые определяются из граничных условий по концам балки.

Заметим, что для большого числа вариантов встречающихся на практике однопролетных балок составлены подробные таблицы изгиба, которые позволяют легко найти прогибы, углы поворота и другие элементы изгиба.

1.4. Определение касательных напряжений при изгибе балок

Принятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные напряжения. Однако поскольку в общем случае в сечениях балки действуют перерезывающие силы, то должны возникать соответствующие им касательные напряжения. Это противоречие (которое является следствием принятой гипотезы плоских сечений) можно обойти, рассматривая условия равновесия. Будем считать, что при изгибе балки, составленной из тонких полос, касательные напряжения в поперечном сечении каждой из этих полос равномерно распределены по толщине и направлены параллельно длинным сторонам ее контура. Это положение практически подтверждается точными решениями теории упругости. Рассмотрим балку открытого тонкостенного двутаврового профиля. На рис. 1.11 показано положительное направление касательных напряжений в поясках и стенке профиля при изгибе в плоскости стенки балки. Выделим продольным сечением I - I и двумя поперечными сечениями элемент длиной dx (рис. 1.12).

Обозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ, а нормальные усилия в начальном поперечном сечении через T . Нормальные усилия в конечном сечении будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения, тогда .

Рис. 1.12. Продольные усилия и касательные напряжения
в элементе пояска балки

Условие статического равновесия выделенногоиз балки элемента (равенство нулю проекций усилий на ось OX ) будет

где ; f – площадь части профиля, отсеченного линией I – I ; δ– толщина профиля в месте сечения.

Из (1.36) следует:

Поскольку нормальные напряжения σ x определяются формулой (1.8), то

При этом мы полагаем, что балка имеет постоянное по длине сечение. Статический момент части профиля (отсеченной линией I – I ) относительно нейтральной оси сечения балки OY является интегралом

Тогда из (1.37) для абсолютной величины напряжений получим:

Естественно, что полученная формула для определения касательных напряжений справедлива и для любого продольного сечения, например II – II (см. рис. 1.11), и статический момент S отс вычисляется для отсеченной части площади профиля балки относительно нейтральной оси без учета знака.

Формула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного сечения балки. Естественно, что проекция главного вектора касательных напряжений на ось OZ должна быть равна перерезывающей силе N в данном сечении балки. Поскольку в поясках балки такого типа, как показано на рис. 1.11, касательные напряжения направлены по оси OY , т.е. нормально к плоскости действия нагрузки, и являются в целом уравновешенными, перерезывающая сила должна уравновешиваться касательными напряжениями в стенке балки. Распределение касательных напряжений по высоте стенки следует закону изменения статического момента S отс отсеченной части площади относительно нейтральной оси (при постоянной толщине стенки δ ).

Рассмотрим симметричное сечение двутавровой балки с площадью пояска F 1 и площадью стенки ω = hδ (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сечение двутавровой балки

Статический момент отсеченной части площади для точки, отстоящей на z от нейтральной оси, будет

Как видно из зависимости (1.39), статическиймомент изменяется с z по закону квадратичной параболы. Наибольшее значение S отс , а следовательно, и касательных напряжений τ, получится у нейтральной оси, где z = 0:

Наибольшее касательное напряжениев стенке балки у нейтральной оси

Поскольку момент инерции сечения рассматриваемой балки равен

то наибольшее касательное напряжение будет

Отношение N /ω есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в предположенииравномерного распределения напряжений. Принимая, например, ω = 2F 1 , по формуле (1.41) получим

Таким образом, у рассматриваемой балки наибольшее касательное напряжение в стенке у нейтральной оси лишь на 12,5% превышает среднее значение этих напряжений. Следует отметить, что у большинства профилей балок, применяемых в судовом корпусе, превышение максимальных касательных напряжений над средними составляет 10–15%.

Если рассмотреть распределение касательных напряжений при изгибе в сечении балки, показанной на рис. 1.14, то можно видеть, что они образуют момент относительно центра тяжести сечения. В общем случае изгиб такой балки в плоскости XOZ будет сопровождаться закручиванием.

Изгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка будет действовать в плоскости, параллельной XOZ , проходящей через точку, называемую центром изгиба. Эта точка характеризуетсятем, что момент всех касательных усилий в сечении балки относительно нее равен нулю.

Рис. 1.14. Касательные напряжения при изгибе швеллерной балки (точка А – центр изгиба)

Обозначив отстояние центра изгиба А от оси стенки балки через е , запишем условие равенства нулю моментакасательных усилий относительно точки А :

где Q 2 – касательное усилие в стенке, равное перерезывающей силе, т.е. Q 2 =N ;

Q 1 =Q 3 – усилие в пояске, определяемое на основании (1.38) зависимостью

Деформация сдвига (или угол сдвига) γ изменяется по высоте стенки балки так же, как и касательные напряжения τ, достигая наибольшей величины у нейтральной оси.

Как было показано, у балок с поясками изменение касательных напряжений по высоте стенки весьма незначительно. Это позволяет в дальнейшем рассматривать некоторый средний угол сдвига в стенке балки

Деформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср . Упрощенная схема деформации сдвига элемента балки показана на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Схема деформации сдвига элемента балки

Обозначив стрелку прогиба, вызванную сдвигом через w сдв , можно записать:

С учетом правила знаков для перерезывающей силы N и угла поворота найдем

Поскольку ,

Интегрируя (1.47), получим

Постоянная a , входящая в (1.48), определяет перемещение балки как твердого тела и может быть принята равной любой величине, так как при определении суммарной стрелки прогиба от изгиба w изг и сдвига w сдв

появится сумма постоянных интегрирования w 0 +a , определяемая из граничных условий. Здесь w 0 – прогиб от изгиба в начале координат.

Положим в дальнейшем a =0. Тогда окончательно выражение для упругой линии, вызванной сдвигом, примет вид

Изгибная и сдвиговая составляющие упругой линии показаны на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Изгибная (а ) и сдвиговая (б ) составляющие упругой линии балки

В рассмотренном случае угол поворота сечений при сдвиге равен нулю, поэтому и с учетом сдвига углы поворота сечений, изгибающие моменты и перерезывающие силы связаны только с производными упругой линии от изгиба:

Несколько иначе обстоит дело в случае действия на балку сосредоточенных моментов, которые, как будет показано ниже, не вызывают прогибов от сдвига, а приводят лишь к дополнительному повороту сечений балки.

Рассмотрим свободно опертую на жесткие опоры балку, в левом сечении которой действует момент М . Перерезывающая сила в этом случае будет постоянной и равной

Для правого опорного сечения соответственно получим

.(1.52)

Выражения (1.51)и (1.52) можно переписать в виде

Выражения в круглых скобках характеризуют относительную добавку к углу поворота сечения, вызванную сдвигом.

Если рассмотреть, например, свободно опертую балку, загруженную посередине ее пролета силой Р (рис. 1.18), то прогиб балки под силой будет равен

Прогиб от изгиба можно найти по таблицам изгиба балок. Прогиб от сдвига определяется по формуле (1.50) с учетом того, что .

Рис. 1.18. Схема свободно опертой балки, загруженной сосредоточенной силой

Как видно из формулы (1.55), относительная добавка к прогибу балки за счет сдвига имеет такую же структуру, что и относительная добавка к углу поворота, но с другим численным коэффициентом.

Введем обозначение

где β – численный коэффициент, зависящий от рассматриваемой конкретной задачи, устройства опор и нагрузки балки.

Проанализируем зависимость коэффициента k от различных факторов.

Если учесть, что , получим вместо (1.56)

Момент инерции сечения балки всегда может быть представлен в виде

,(1.58)

где α – численный коэффициент, зависящий от формы и характеристик поперечного сечения. Так, для балки двутаврового профиля по формуле (1.40) при ω =2F 1 найдем I = ωh 2 /3, т.е. α =1/3.

Заметим, что с ростом размеров поясков балки коэффициент α будет увеличиваться.

С учетом (1.58) вместо (1.57) можно записать:

Таким образом, значение коэффициента k существенно зависит от отношения длины пролета балки к ее высоте, от формы сечения (через коэффициент α ), устройства опор и нагрузки балки (через коэффициент β ). Чем относительно длиннее балка (h / L мало), тем меньше влияние деформации сдвига. Для балок прокатного профиля, имеющих отношение h / L меньше 1/10÷1/8, поправка на сдвиг практически может не учитываться.

Однако для балок с широкими поясками, таких, например, как киль, стрингеры и флоры в составе днищевых перекрытий влияние сдвига и при указанных h / L может оказаться значительным.

Следует отметить, что деформации сдвига оказывают влияние не только на увеличение прогибов балок, но в некоторых случаях и на результаты раскрытия статической неопределимости балок и балочных систем.

Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой . Жесткость поперечного сечения балки на изгиб постоянна и равна . Прогиб в середине пролета балки длиной равен….

Консольная балка на участке АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Угол поворота сечения B , по абсолютной величине равен.…

Построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (). Затем построим эпюру от единичного момента (), приложенного в сечении В . Определим угол поворота сечения В. Для этого перемножим эпюры от заданной нагрузки и единичного момента. На левом участке результат перемножения равен нулю. На правом участке обе эпюры линейные. Если взять площадь с единичной эпюры, получим: . Знак «минус» показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента. При перемножении эпюр можно взять площадь грузовой эпюры, а ординату с единичной (как показано на рисунке).

Задание 25

При данном варианте нагружения в стержне прямоугольного (не квадратного) поперечного сечения имеет место комбинация…..

При внецентренном растяжении (сжатии) стержня в поперечном сечении возникают….

Продольная сила и изгибающий момент

В произвольном прямоугольном поперечном сечении стержня действуют внутренние силовые факторы: N – продольная сила; и − изгибающие моменты. Следовательно, имеет место комбинация.…

Растяжения и чистого косого изгиба

Изгибающие моменты можно геометрически сложить. Плоскость действия суммарного изгибающего момента не будет совпадать ни с одной из главных центральных плоскостей стержня. Поэтому имеет место комбинация растяжения и чистого косого изгиба.

На рисунке представлена схема нагружения стержня круглого сечения. В любом произвольном сечении стержня на участке II имеет место комбинация …

Плоского поперечного изгиба с кручением и растяжением

Рассекаем стержень на втором участке поперечным сечением и отбрасываем левую часть.

Из условий равновесия оставшейся части находим

Для круглого сечения () косой изгиб можно свести к плоскому изгибу, если геометрически сложить изгибающие моменты и , поперечные силы и Следовательно, на втором участке имеем плоский поперечный изгиб с кручением и растяжением.

Видами деформаций участков стержня являются …

I – изгиб с кручением, II – плоский изгиб

На рисунках изображены отсеченные части стержня. Поперечные силы условно не показаны. поэтому косой изгиб на участке II можно свести к плоскому изгибу моментом . На участке I сила вызывает деформацию – плоский изгиб с кручением. На участке II – плоский изгиб.

Задание 26

При данном нагружении стержня (сила лежит в плоскости ) максимальное нормальное напряжение возникает в точке….

Стержень прямоугольного сечения с размерами нагружен, как показано на схеме. Сила , размеры заданы. Сила лежит в плоскости . Значение нормального напряжения в точке равно….

(т.к.

После подстановки )

Максимальное нормальное растягивающее напряжение в стержне прямоугольного сечения с размерами и равно . Длина стержня l задана. Значение силы F равно.…

Максимальное нормальное растягивающее напряжение возникает в точке В , расположенной в сечении, бесконечно близком к заделке.

Учитывая, что в данном сечении и в точке В они вызывают растяжение, получим Следовательно, значение силы

Представлены эпюры распределения нормальных напряжений в поперечном сечении стержня. Косому изгибу при заданном нагружении стержня соответствует эпюра …

Из физического представления о процессе изгиба ясно, что верхние слои стержня будут растягиваться, а нижние – сжиматься. Кроме того, при косом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Поэтому верным является 3 вариант.

Задание 27

Прочность колоны при удалении точки приложения сжимающей силы от центра тяжести сечения…….

Уменьшается

Линия действия сжимающей силы проходит через точку К контура ядра сечения. Нейтральная линия занимает положение……

(т.к. )

Стержень работает на внецентренное сжатие. В опасных точках поперечного сечения имеем ______________ напряженное состояние.

Линейное

При внецентренном сжатии в поперечном сечении стержня возникают два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент. Поэтому, напряжения в любой точке поперечного сечения будут складываться из нормальных напряжений осевого сжатия и нормальных напряжений от чистого, в общем случае косого, изгиба. Следовательно, в опасных точках сечения имеем линейное напряженное состояние.

Задание 28

Схема нагружения стержня круглого поперечного сечения показана на рисунке. Опасной будет точка……

Стержень круглого сечения диаметром , высотой нагружен двумя силами, лежащими в плоскости . Значение эквивалентного напряжения в точке , по теории больших касательных напряжений, равно……(Касательные напряжения от поперечной силы в расчетах не учитывать)

Стержень круглого сечения диаметром изготовлен из пластичного материала. Значение силы . Эквивалентное напряжение в опасной точке стержня, по теории наибольших касательных напряжений, равно.…

52 МПа

Опасное сечение при данном нагружении стержня будет у заделки. Влиянием поперечных сил пренебрегаем. Значения избегающих моментов и крутящего момента в опасном сечении показаны на рисунке.

Используя теорию наибольших касательных напряжений, найдем эквивалентное напряжение в опасной точке: или После подстановки заданных значений и получим

Стержень работает на деформации изгиб и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке поперечного сечения круглого стержня, называется …

Плоским

Если элементарный объем поворачивать вокруг нормали к внешней цилиндрической поверхности, то можно отыскать такое его положение, при котором касательные напряжения на его гранях будут равны нулю, а нормальные напряжения (главные напряжения) нулю равняться не будут. Так как нормальное напряжение по верхней грани (одно из главных напряжений) равно нулю, то напряженное состояние является плоским.

Ломаный стержень круглого сечения диаметром d нагружен силой F . Длины участков одинаковы и равны Значение максимального эквивалентного напряжения в стержне, по теории наибольших касательных напряжений, равно …

Опасное сечение в стержне расположено бесконечно близко к заделке. В данном сечении действуют изгибающий момент и крутящий момент На основании теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в опасной точке круглого сечения определяется по формуле где Следовательно,

Стержень прямоугольного сечения испытывает деформации изгиба в двух плоскостях и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасных точках, будет …

Линейным и плоским

При оценке напряженного состояния в опасных точках прямоугольного сечения, когда оно работает на деформации изгиба в двух плоскостях и кручение, проверяют три точки: угловую, в середине длинной и в середине короткой сторон. В угловой точке возникают только нормальные напряжения. Следовательно, напряженное состояние будет линейным. В точках, расположенных в середине длинной и короткой сторон, наряду с нормальными напряжениями. появляются касательные. Поэтому в этих точках напряженное состояние будет плоским.

Задание 29

Жесткость поперечного сечения на изгиб по длине балки постоянна. Размер задан. Значение силы , при которой прогиб концевого сечения В будет , равно……

Криволинейный стержень радиусом нагружен силой .Жесткость поперечного сечения на изгиб задана. Вертикальное перемещение сечения В равно….

(т.к. )

После определения начального угла поворота вычисляется прогиб сечения А.

, показанная на рис.2.3 пунктиром, вводится в тех случаях, когда прогиб определяется в сечении, которое находится за пределами участка действия распределенной нагрузки.

Угол поворота сечения В вычисляется по формуле (2.20), в которой следует принять

2.2.2. Интеграл Мора.

Универсальная формула Мора вычисления упругих перемещений в стержневых системах является естественным обобщением формулы Кастильяно. Для линейно упругих стержневых систем формула Кастильяно имеет вид

Δ К -обобщенное перемещение сечения К,

Р К –обобщенная сила, соответствующая обобщенному перемещению Δ К,

U –функция потенциальной энергии.

Потенциальная энергия является квадратичной функцией усилий и для изгибаемых элементов записывается в виде

(2.22)

В подавляющем большинстве случаев влиянием поперечной силы на величину потенциальной энергии пренебрегают. Комбинирование формул (2.21) и (2.22) дает

(2.23)

Частная производная соответствует функции изгибающего момента , вызванного действием единичной обобщенной силы ,приложенной в сечении К по направлению искомого перемещения. Формула (2.23), записанная в виде

(2.24)

определяет частный вид универсальной формулы Мора применительно к определению перемещений в изгибаемых элементах.

На практике используется графоаналитический прием вычисления интеграла Мора (прием Верещагина).

‑ площадь грузовой эпюры (эпюра изгибающего момента от действия заданной нагрузки);

‑ ордината единичной эпюры (эпюра изгибающего момента от действия единичной обобщенной силы), измеренная под центром грузовой эпюры.

Вычисление интеграла Мора по формуле Верещагина в учебной литературе называется "перемножением" эпюр.

В ряде случаев при вычислении интеграла Мора удобно пользоваться формулой Симпсона

(2.26)

где индексы "н", "с", "к" ‑ обозначают соответственно начало, середину и конец участка перемножаемых эпюр.

Пример 2. Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения В балки, рассмотренной в примере 1 (рис.2.4.а).

Вычисление интеграла Мора произвести по формуле Симпсона.

Для определения прогиба сечения А строится грузовая М р (рис.2.4.б) и единичная (рис.2.4.в) эпюры изгибающих моментов.

Перемножение грузовой и единичной эпюр изгибающих моментов по формуле Симпсона дает

Для определения угла поворота опорного сечения В строится вторая единичная эпюра изгибающего момента от действия единичного момента, приложенного в сечении В балки (рис.2.4.г).

Величина угла поворота определяется перемножением грузовой и единичной (рис.2.4.г) эпюр изгибающих моментов.

Примечание. Знак минус в ответах означает, что направления действительных перемещений сечений А и В будут противоположными направлениям перемещений, соответствующих единичным обобщенным силам.

2.3. Статически неопределимые балки
(Метод сил раскрытия статической неопределимости)

Статически неопределимые балки содержат "лишние" связи (при удалении лишних связей балки становятся статически определимыми). Число лишних связей определяет степень статической неопределимости задачи.

Статически определимая геометрически неизменяемая балка, полученная из заданной статически неопределимой путем удаления лишних связей, называется основной системой метода сил.

Алгоритм решения статически неопределимых балок методом сил рассмотрен на примере один раз статически неопределимой балки (рис. 2.5.а).

Решение задачи начинается с выбора основной системы метода сил (рис. 2.5.б). Следует отметить, что это не единственный вариант выбора основной системы (в частности, возможен вариант удаления внутренних связей путем постановки шарнира).

Суть метода сил заключается в отрицании перемещений по направлению удаленной связи. Математически это условие записывается в виде уравнения совместности перемещений

, (2.27)

δ 11 – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием единичного значения неизвестной реакции удаленной связи (рис. 2.5.в)

Δ 1Р – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием заданной нагрузки (рис. 2.5.г)

Вычисление перемещений δ 11 , Δ 1Р производится по формуле Симпсона.

Коэффициент δ 11 канонического уравнения метода сил определяется перемножением единичной эпюры (рис. 2.5.е) самой на себя

Коэффициент Δ 1Р канонического уравнения метода сил вычисляется перемножением единичной (рис. 2.5.е) и грузовой (рис. 2.5.д ) эпюр

Из решения уравнения (2.27) определяется реакция X 1 лишней связи

Этот этап решения соответствует раскрытию статической неопределимости задачи.

Эпюра изгибающего момента М x (рис. 2.5.з) в статически неопределимой балке строится по формуле

(2.28)

На рис. 2.5.ж представлена "исправленная" единичная эпюра, все ординаты которой увеличены в X 1 раз.

Рассмотренный алгоритм решения статически неопределимых задач с помощью метода сил пригоден и для решения статически неопределимых задач при кручении, при осевом действии нагрузок, а также при сложной деформации стержня.

2.4. Устойчивость сжатых стержней

Для полного представления о работе сооружения наряду с расчетами на прочность и жесткость необходимы расчеты на устойчивость сжатых и сжато-изогнутых элементов.

Инженерные объекты кроме расчетных нагрузок могут подвергаться дополнительным, не предусмотренным в расчете, малым возмущениям, способным вызвать в элементах объекта непроектную деформацию (искривление оси сжатых элементов, пространственный изгиб плоско изогнутого элемента). Результат такого дополнительного воздействия зависит от интенсивности нагрузок, действующих на элемент конструкции. Для каждого элемента существует некоторое критическое значение нагрузки, при превышении которого малое случайное возмущение вызывает необратимую непроектную деформацию. Такое состояние объекта является опасным.

Определение перемещений в балках аналитическим способом

Пример 1

Условие задачи

Для балки, показанной на рис. 4.20, а , требуется найти прогиб в сечении С , угол поворота в сечении В аналитическим способом и проверить условие жесткости, если допускаемый прогиб равен l /100. Балка выполнена из дерева и имеет поперечное сечение из трех бревен радиусом 12 см. (Подбор сечения этой балки см. в разд. 4.1.2, пример 1.)

Решение

Для определения перемещений балки аналитическим способом составим дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16), используя правила Клебша записи выражения для изгибающего момента. Начало координат в рассматриваемой задаче рациональнее выбрать справа (в заделке). Распределенную нагрузку , которая не доходит до левого конца балки, продлим до сечения С (рис. 4.20, в ). Выражение для изгибающего момента будет иметь такой вид:

.

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (4.16) и проинтегрируем его два раза:

;

;

.

Для определения постоянных С и D запишем граничные условия: в заделке (в сечении А , где находится начало координат) угол поворота и прогиб балки равны нулю, то есть

И .

Подставляя эти условия в выражения для угла поворота и прогиба на первом участке, найдем, что

Теперь можно определить заданные перемещения. Для определения угла поворота в сечении В подставим в выражение для угла поворота на первом участке (только до черты с номером I) значение :

В соответствии с правилом знаков отрицательный знак угла поворота для выбранного начала координат х справа означает, что поворот сечения происходит по часовой стрелке.

В сечении С , где требуется найти прогиб, координата х равна , и это сечение находится на третьем участке балки, поэтому подставляем х = 4 м в выражение для прогибов, используя слагаемые на всех трех участках:

кН·м 3 .

Знак минус у найденного прогиба показывает, что сечение С перемещается вверх. Покажем найденные перемещения на изогнутой оси балки. Чтобы нарисовать ось балки после деформации, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.20, б ). Положительный знак эпюры М на участке показывает, что балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном знаке М изогнутая ось имеет выпуклость вверх. Кроме того, деформированная ось балки должна удовлетворять условиям закрепления: в нашем случае на правом конце балка имеет жесткое защемление, и, как уже отмечалось при записи граничных условий, прогиб и угол поворота в защемлении должны равняться нулю. На рис. 4.20, г изображена ось рассматриваемой балки после деформации, удовлетворяющая этим условиям. На изогнутой оси показаны найденные прогиб в сечении С и угол поворота сечения В с учетом их знаков.

В заключение сосчитаем прогиб балки в сантиметрах, угол поворота в радианах и проверим условие жесткости. Найдем жесткость ЕI рассматриваемой деревянной балки из трех бревен радиусом 12 см. Момент инерции поперечного сечения

см 4 .

Модуль упругости дерева Е = 10 4 МПа = 10 3 кН / см 2 . Тогда

Прогиб балки в сечении С

см,

а угол поворота сечения В

рад.

Очевидно (см. рис. 4.20, г ), что найденный прогиб балки в сечении С является максимальным, поэтому для проверки условия жесткости сравним его с допускаемым прогибом. Для балки длиной м допускаемый прогиб согласно условию см. Таким образом, максимальный прогиб см меньше допускаемого, и условие жесткости выполняется.

Пример 2

Условие задачи

В балке с двумя консолями, показанной на рис. 4.21, а надо найти угол поворота сечения А и прогиб сечения D , используя аналитический способ. Сечение балки – двутавр № 24.

Решение

Выберем начало отсчета координаты х на левом конце балки в точке А и запишем выражение для изгибающего момента на всех участках с учетом правил Клебша:

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16) и проинтегрируем его дважды:

Найдем произвольные постоянные С и D из граничных условий. В точках В и С , где находятся опоры, прогибы не возможны. Поэтому

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными С и D . Решая эту систему, найдем С = 40 кН·м 2 , D = – 40 кН·м 3 . Проанализируем результат, используя геометрический смысл произвольных постоянных С и D . На рис. 4.21, в показана изогнутая ось балки, соответствующая эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления. Точка А , находящаяся в начале координат, перемещается вверх, и поэтому следует ожидать, что будет иметь в соответствии с правилом знаков отрицательный знак. Сечение в точке А поворачивается по часовой стрелке, поэтому постоянная должна быть положительна. Полученные знаки С и D не противоречат проведенному анализу.

К Вашим услугам. Но аксиомы: "если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам" пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки - единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях - это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1 .

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью х , сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f . Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х , а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать "θ ", а прогиб "f " (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как "ν ", "w " или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение "f ", принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки . Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала - модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости . Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b· h , где b - ширина балки, h - высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м 2 . Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице .

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S · Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S · Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b· h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b· h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h 2 /6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М / ΔЕ (11.4.1)

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции - это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления - это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла - это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. "Справочник по сопротивлению материалов" Киев: Будiвельник. - 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту . Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице .

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l , то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3 .

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl , но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х , которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия - "плечо действия силы". Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие "плечо" можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2 . Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

Рисунок 149.7.1 Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой "М" рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры "М" от начала балки до середины пролета - это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент - это площадь эпюры "М", умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры "М" до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры "М" до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/6 = Ql 3 /48. Тогда прогиб f = Ql 3 /48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб - смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql 2 /(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры "Q" (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами "Q" и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры "М" в точке х .

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI) = Ax 2 /(2EI) = (Q/2)·(l/2) 2 /(2ЕI) = Ql 2 /(16EI) (11.6.2)

где А - это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x - qx 2 /2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2) 2 /(2ЕI) -q·(l/2) 3 /(6ЕI) = ql 3 /(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5 .

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql 2 /16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6 .

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С 1 , которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0 будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой - это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) - qx 3 /(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. "-" означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а "+" - по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки - то положительным.

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у , а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у - это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть "плечо действия". Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x 2 /(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение - площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f х = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l/2 = - (Ql 2 /16EI) l/2 + (Ql 3 /96EI) = -(Ql 3 /48EI) (12.3.5)

В данном случае знак "-" показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х . А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у , именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3). Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k . Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3 ∫∫∫∫ qdх = (2(qlx 3 /6) - 3(qx 4 /24))/EI = 5ql 4 /(384EI) (12.4.4)

f х = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f l/2 = (- ql 3 x/24 + (qlx 3 /6) - (qx 4 /24))/EI = - 5ql 4 /(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак "-" означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у .

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки - эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql 2 /(8·3))l/2 = ql 3 /24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql 4 /384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы , чтобы ими пользоваться.

Позвольте! - Скажете вы, - Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб , однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 - 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10 5 кгс/см 2 , момент инерции прямоугольного сечения I z = bh 3 /12 = 4.98·0.32 3 /12 = 0.01359872 см 4 , полная нагрузка - 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql 3 /(48EI) = 0.302·90 3 /(48·10 5 ·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции - тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0.302·90 2 /(16·10 5 ·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112 2) 3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм.

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см 4 , длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

Определение угла поворота через прогиб.

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А , казалось бы, проще простого:

tgθ х = - tgθ A + Мx/(EI) - Аx 2 /(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l , (B = - M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А , а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f A = tgθ B l - Bl 3 /(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B = tgθ A l + Ml 2 /(2EI)- Al 3 /(6EI) = 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами - значения начальных параметров определяются в ходе решения