МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ГОРНЫЙ»
Кафедра АТПП
Математические методы обработки данных
Лабораторная работа № 2
ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО МЕТОДУ ГАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Выполнил: студент гр.АПМ-13 ____ __________ / Озеров Б.А. /
(подпись) (Ф.И.О.)
Проверил: доцент ___________ / Иванов П.В. /
(подпись) (Ф.И.О.)
Санкт-Петербург
Цель работы: изучение практических приемов нахождения коэффициентов линейных и нелинейных регрессионных зависимостей и оценки точности аппроксимации с использованием программной среды MathCad.
Линейная аппроксимация.
Дано:
Способы аппроксимации:
line ;
2) решение системы линейных уравнений с помощью конструкции Given – Find .
Выполнение задания:
1) решение системы линейных уравнений, используя функцию line.
Делаем матрицу данных нам величин, а именно x и y. Функция line просто вычисляет быстрым способом, находит не известные коэффициенты. Получаем искомые коэффициенты. Запись в программе MathCad представлена на рис.1
рис.1 решение системы линейных уравнений, используя функцию line
в программе MathCad
2) Конструкция Given – Find использует расчетную методичку, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения.
В блоке Given записывается система уравнений (неравенств), подлежащих решению. Система уравнений должна быть записана после или правее Given. Перед словом Given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных. Признаком окончания системы служит Find.
Сначала задаем матрицу данных нам величин, а именно x и y. И задаем начальное приближение А и В, от которых будем начинать искать значения линейного уравнения Ах+В=y. Затем вводим служебное слово Given и после него записываем уравнение, используя знак жирное равно. И в конце написать функцию Find с неизвестными переменными в качестве параметра. Получаем искомые коэффициенты. Запись в программе MathCad представлена на рис.2
Используя метод наименьших квадратов, мы составляем уравнения, которые записываем после слова Given:
рис.2 решение системы линейных уравнений с помощью конструкции Given – Find
в программе MathCad
Вычислили коэффициенты аппроксимирующего полинома линейного уравнения двумя разными способами. Они совпали: (а=А, b=B)
Аппроксимация , или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В задачах, рассматриваемых в данном разделе и в следующем, используются исходные данные, полученные в результате табуляции заданной функции. Следует помнить, что в реальных задачах исходными данными являются результаты наблюдений (проведение опытов, научных экспериментов, наблюдение реальных событий и т.п.), которые подвержены ошибкам измерения и другим случайным факторам. Задача исследователя - подобрать по исходным точкам (которые на первый взгляд расположены хаотично) функциональную зависимость (если это вообще возможно), которая наилучшим образом описывает распределение исходных данных и в некоторых случаях попытаться сделать прогноз дальнейшего развития (например исследование временно́го ряда изменения котировок акций).
Задание . Построить таблицу значений функции F(x)=ax²+bx+c для 11 значений аргумента x в диапазоне –1 ≤ x ≤ +1 . Построить график этой функции, затем выполнить аппроксимацию линиями тренда двух типов. С помощью линий тренда построить прогноз на два периода вперёд.
Как и в предыдущих задачах вводим исходные данные: начальное значение аргумента функции Xn , конечное значение аргумента функции Xk , количество точек разбиения функции (количество строк таблицы) N , формулу для шага аргумента функции dX , коэффициенты a , b , c , затем создаем основную таблицу и строим диаграмму (все эти действия были подробно описаны в разделе ) :
Линии тренда на диаграмме
Линии тренда позволяют графически отображать тенденции изменения данных и прогнозировать их дальнейшие изменения . Подобный анализ называется также регрессионным анализом. Используя регрессионный анализ, можно продлить линию тренда в диаграмме за пределы реальных данных для предсказания будущих значений.
Линии тренда могут быть построены на всех двухмерных диаграммах (линию тренда нельзя добавить на объемных, лепестковых, круговых, кольцевых и пузырьковых диаграммах).
Существует шесть различных видов линий тренда:
- Линейная
- Полиномиальная
- Логарифмическая
- Экспоненциальная
- Степенная
Линии тренда, добавленные к графику функции, на сами данные и исходную диаграмму никак не влияют.
Формулы для вычисления линий тренда
Линейная . Используется для линейной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где: m - угол наклона, b - координата пересечения оси абсцисс.
Полиномиальная . Используется для полиномиальной или криволинейной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где: b , c 1 , c 2 , … c 6 - константы.
Можно задать степень полинома от 2 до 6.
Логарифмическая . Используется для логарифмической аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где: c и b - константы, ln - функция натурального логарифма.
Экспоненциальная . Используется для экспоненциальной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где: c и b - константы, e - основание натурального логарифма.
Степенная . Используется для степенной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где: c и b - константы.
Примечание . Экспоненциальная и степенная виды аппроксимации недоступны, если значения функции F(x) содержат отрицательные или нулевые значения. Кроме того, логарифмическая и степенная виды аппроксимации недоступны, если значения аргумента функции x содержат отрицательные или нулевые значения. Поскольку в заданиях к лабораторным работам используется отрицательное значение нижней границы аргумента Xn (x0 ), не выбирайте логарифмическую и степенную виды аппроксимации!
Скользящее среднее - это среднее значение за определенный период:
На диаграмме линия, построенная по точкам скользящего среднего, позволяет построить сглаженную кривую, более ясно показывающую закономерность в развитии данных.
Добавление линии тренда к рядам данных
Выделяем диаграмму (щелкаем в любом пустом месте диаграммы), после чего на ленте меню появятся три дополнительные вкладки: Конструктор , Макет и Формат . На вкладке Макет в группе Анализ щелкаем по кнопке .
линейный алгебраический численный метод
Часто при анализе экспериментальных данных возникает необходимость найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений. При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y получается таблица значений, которую также можно представить в графическом виде.
Если же заведомо известен вид аппроксимирующей функции, то задача аппроксимации сводится только к отысканию коэффициентов (a, b, c,...), входящих в функцию. Для нахождения этих коэффициентов используется метод наименьших квадратов, заключающийся в том, что сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции y=f(x, a, b, c,...) наименьшая: S = i 2 = min, где S i = y i - f(x i , a, b, c,...). Для этого используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных i - f(x i , a, b, c,...)) 2: равенство нулю частных производных. В результате получим систему. Таким образом, нахождение коэффициентов сводится только к решению системы:
Линейная регрессия
Линейная функция имеет вид y = ax + b, следовательно, требуется найти два параметра: a и b, с условием, что даны координаты n точек, найденных экспериментально со случайными ошибками («шумом»). Для этого составим функцию i - (ax i +b)) 2 , раскроем скобки i - ax i - b) 2 и составим систему:
Пусть А = i , В = i , С = i x i , D = i 2 , тогда система примет вид:
Решим эту систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера и, таким образом, найдем искомые значения параметров a и b:
Таблица. Имеются точки:
Используя способ вычисления параметров линейной функции, получаем:
a = 0,1215455 , b = - 0,2140002
Рассмотрим гильбертово пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом на . Норма в нем равна где скалярное произведение определено следующим образом:
Физический смысл весовой функции будет пояснен в п. 4. Выберем в качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (37). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (36), получим
Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим систему линейных уравнений
Ее определитель есть определитель Грама функций поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (38).
Линейно-независимую систему функций можно ортогонализировать.
Пусть уже образуют ортонормированную систему, т. е. ; тогда формулы (38) резко упрощаются и становятся удобными для вычислений
Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщенного ряда Фурье.
Если функции образуют полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля
Значит, при норма погрешности неограниченно убывает, т. е. наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у и возможна аппроксимация с любой точностью.
Отметим, что если не ортогональны, то при определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (38) становится плохо обусловленной, т. е. ее решение связано с большой потерей точности (см. главу V), и больше 5 - 6 членов суммы (37) брать нецелесообразно. Численная ортогонализация базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогональных функций.
При интерполяции мы обычно полагали Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительны из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует Сводка формул для ортогональных полиномов приведена в Приложении.
Все перечисленные выше системы функций полные, так что наилучшие приближения по ним среднеквадратично сходятся при если интегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость. Приведем без доказательства некоторые результаты.
а) Ряд по многочленам Якоби сходится к непрерывной функции у равномерно на если существует непрерывная при некотором и если . В частности, для многочленов Чебышева первого рода достаточно а для многочленов Чебышева второго рода Для многочленов Лежандра доказан более сильный результат: ряд сходится равномерно, если существует ограниченная у
б) Если функция кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует
то ряд по многочленам Лагерра сходится к функции в точках ее непрерывности и к полусумме односторонних пределов в точках разрыва. Эта сходимость, вообще говоря, не равномерная.
в) Если функция у кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует
то ряд по многочленам Эрмита сходится так же, как в предыдущем абзаце.
г) Если у периодическая и непрерывная, причем ее модуль непрерывности удовлетворяет условию то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на всем периоде (признак Липшица); в частности, это условие выполняется для функции с ограниченной производной. Если функция имеет ограниченную производную а все младшие производные непрерывны, то для погрешности тригонометрического ряда Фурье и величин отдельных коэффициентов справедливы оценки
где А - константа. Видно, что при больших ряд сходится быстро. Но если кусочно-непрерывна, то сколько бы ни было у нее кусочно-непрерывных и ограниченных производных, ее коэффициенты Фурье убывают не быстрей и ряд сходится медленно (или даже расходится).
Замечание 1. Сходимость не во всех рассмотренных случаях была равномерной. Более того, не существует такого веса чтобы любая непрерывная функция разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится.
Замечание 2. Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции особенностей - разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особенности в виде несложной функции и аппроксимировать разность у точность аппроксимации существенно улучшается.
Линейная аппроксимация - (Linear approximation) – см. Аппроксимация, Линейность в экономике …
линейная аппроксимация - линейное приближение Аппроксимацией называется приближенное выражение каких либо величин или объектов через другие более простые величины или объекты. При линейной аппроксимации приближение строится с помощью линейных функций. ] Тематики защита информации EN linear approximation of block ciphers … Справочник технического переводчика
кусочно-линейная аппроксимация функции - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN piecewise linear approximation … Справочник технического переводчика
Аппроксимация - «замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным» ; в частности приближенное выражение сложной функции с помощью более простых. Например, при кусочно линейной А., непрерывная… … Экономико-математический словарь
аппроксимация - «Замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным» . В частности — приближенное выражение сложной функции с помощью более простых. Например, при кусочно линейной А., непрерывная… … Справочник технического переводчика
Группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия
Численные методы решения методы, позволяющие получить решение Л. к. з. в виде таблицы его приближенных значений в точках сетки, не используя предварительной информации об ожидаемом виде решения. Для теории этих методов типично предположение о том … Математическая энциклопедия
Метод решения класса задач статистич. оценивания, в к ром новое значение оценки представляет собой поправку к уже имеющейся оценке, основанную на новом наблюдении. Первая процедура С. а. была предложена в 1951 X. Роббинсом(Н. Robbins) и С. Монро… … Математическая энциклопедия