;
3. 
,
где матрицы −квадратные, одинаковой размерности.
Вообще говоря, если для не квадратных матриц возможно произведение , которое будет являться квадратной матрицей, то возможно существование и обратной матрицы ,
хотя 3-свойство при этом нарушается.
Для нахождения обратной матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк:
1. Составляют расширенную матрицу, приписывая справа от исходной матрицы единичную матрицу соответствующей размерности:
.
2. Элементарными преобразованиями строк матрицу Г
приводят к виду:
.
− искомая
Ранг матрицы
· Минором k-ого порядка матрицы называется определитель, составленный из элементов исходной матрицы, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов
( 
).
Замечание
. Каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.
Теорема.
Если в матрице все миноры k-ого порядка равны нулю, то равны нулю все миноры большего порядка.
Разложим минор (определитель) (k+1
)-ого порядка через элементы 1-ой строки: .
Алгебраические дополнения по сути являются минорами k-
ого порядка, которые по условию теоремы равны нулю. Следовательно, .
· В матрице порядка минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. совпадает с меньшим из чисел или .
Столбцы и строки матрицы, из которых стоит базисный минор, называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
· Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы
и обозначается:
, .
Очевидно, что .
Например
. 1. 
, .
2. 
.
Матрица В
содержит единственный ненулевой элемент являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, .
обратная матрица 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
Система линейных алгебраических уравнений (линейная система
, также употребляются аббревиатуры СЛАУ
, СЛУ
) - система уравнений, каждое уравнение в котором является линейным - алгебраическим уравнением первой степени.
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
Здесь - количество уравнений, а - количество переменных, - неизвестные, которые надо определить, коэффициенты и свободные члены 
предполагаются известными.
Система называется однородной
, если все её свободные члены равны нулю (), иначе - неоднородной
.
Решение системы линейных алгебраических уравнений - совокупность чисел , таких что из соответствующая подстановка вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения - недоопределённой.
Матричная форма
Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или:
.
Здесь - это матрица системы, - столбец неизвестных, а - столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
Теорема Кронекера - Капелли
Теорема Кронекера - Капелли
устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.
Методы решения систем линейных уравнений.
Матричный метод
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):
Перепишем в матричной форме:
Решение системы найдем по формуле
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом Гаусса.
Метод Крамера
Ме́тод Крамера (правило Крамера) - способ решения СЛАУ с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы.
Для системы линейных уравнений с неизвестными
Заменяем i-тый столбец матрицы столбцом свободных членов b
Пример:
Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:
Определители:
В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.
Решение:
5. Метод Гаусса
Алгоритм решения:
1. Запишем расширенную матрицу
2. Приведем к ступенчатому виду путем элементарных преобразований
3. Обратный ход, в ходе которого выражаем базисные члены через свободные.
Расширенная матрица получается путем добавления к матрице столбца свободных членов.
Существуют следующие элементарные преобразования:
1. Строки матрицы можно переставлять местами.
2. Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.
3. Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.
4. Строку матрицы можно умножить (разделить)на любое число, отличное от нуля
.
5. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.
Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений
Обратный ход:
Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках".
Далее выражаются базисные члены через свободные. Идем “снизу в вверх” попутно выражая базисные члены и подставляя результаты в вышестоящее уравнение.
Пример:
Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы. В данном примере базисными переменными являются и
Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.
Теперь нужно все базисные переменные
выразить только через свободные переменные
.
Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вв
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
- Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
- Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
- Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Для матрицы А найти обратную матрицу А -1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ: 
Решение матричных уравнений
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.
Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Решить уравнение АХ = В, если 
Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
Матричный метод в экономическом анализе
Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.
В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.
На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .
На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.
После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .
На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.
На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.
Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.
§6. Свойства определителей
§7. Обратная матрица
Невырожденная и вырожденная матрицы
Обратная матрица
Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы
Алгоритм вычисления обратной матрицы по формуле
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
§ 6. Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.
Следствие 1. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
Следствие 2. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число, ее определитель умножится на это число.
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель какой-либо строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить лишь общий множитель всех элементов.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
4. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель матрицы не измениться, если к какой либо строке (столбцу) прибавить другую строку 9столбец), умноженную на число.
6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е.
Замечание.
Даже если А
∙В
≠ В
∙А
, 
.
Итак, используя свойства определителей, можно всякий определитель свести к треугольному виду. Рассмотрим этот процесс на примере.
Пример.
Вычислить определитель 
Решение .
§ 7. Обратная матрица
Для каждого числа а ¹ 0 существует обратное число а –1 такое, что а · а –1 = 1. Для квадратных матриц вводиться аналогичное понятие.
Рассмотрим квадратную матрицу
.
Квадратная матрица А называется невырожденной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной если ее определитель равен нулю.
Квадратная матрица А –1 называется обратной для квадратной матрицы А , если их произведение как слева, так и справа равное единичной матрице:
А · А –1 = А –1 · А = Е .
В отличие от чисел, не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденная.
4.1 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ
Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной (или неособенной ), если det A ≠ 0. В противном случае матрица А – вырожденная (или особенная ). Матрица A является обратной для квадратной невырожденной матрицы А , если A A AA E , где E ‑ единичная матрица порядка n :
.
Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная .
Доказательство . Необходимость . Пусть матрица А имеет обратную A , т. е. A A AA E . По свойству 10 определителей имеем D (A A ) = D (A ) D (А ) D (E ) = 1 и, следовательно, D (А ) 0.
Достаточность . Пусть D (А ) 0. Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка , называемую присоединенной . Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А :
.
Легко показать, что
.
Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A , то произведения A A и AA равны единичной матрице E n -го порядка: A A AA E .
Рангом матрицы А (обозначается rang А или r (A )) является наибольший порядок порожденных ею миноров (определителей), отличных от нуля. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется ее базисным минором . Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также будут базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров, однако все их порядки одинаковы и равны рангу матрицы.
Ранг матрицы не изменится, если:
1) строки и столбцы матрицы поменять местами;
2) переставить местами два любых ее столбца (строки);
3) удалить из нее столбец (строку), все элементы которого равны нулю;
4) удалить из нее столбец (строку), являющийся линейной комбинацией остальных ее столбцов (строк);
5) умножить ее произвольный столбец (строку) на любое отличное от нуля число;
6) к любому ее столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов (строк) этой матрицы.
Преобразования 2) ‑ 6) называются элементарными . Две матрицы являются эквивалентными , если одна получается из другой с помощью элементарных преобразований и обозначается как А ~В .
Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:
1) r (A + В ) r (A ) + r (B ),
Сложение матриц.
Свойства сложения:
· А + В = В + А.
· (А + В) + С = А + (В + С) .
Умножение матрицы на число.
· k(A + B) = kA + kB.
· (k + m)A = kA + mA.
Перемножение матриц.
Обратная матрица.
Свойства определителей
4. Теорема замещения.
5. Теорема аннулирования.
дополнений этих элементов
где i= , 
Транспонирование матриц.
Транспонированная матрица
A
T [i
, j
] = A
[j
, i
].
Например,
и 
Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.
Эллиптический цилиндр
Эллиптическое уравнение:
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр , его уравнение x 2 + y 2 = R 2 . Уравнение x 2 =2pz определяет в пространстве параболический цилиндр .
Уравнение: 
определяет в пространстве гиперболический цилиндр
.
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка , так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.
62. Эллипсоиды.
Исследуем поверхность, заданную уравнением: 
Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:
Исследуем поверхность:
А) если 
то 
Линия пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует.
Б) если 
, 
линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.
В) если 
, то уравнения можно переписать в виде: 
, как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = 
, b1 = 
. При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений.а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу. 
Гиперболоиды.
1. Исследуем поверхность 
.
Пересекая поверхностьплоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид
z=h. или z=hполуоси: а1= 
b1= 
полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. => 
х=0.
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.
2. 
-
уравнение поверхности.
и 
-
поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом
. 
64. параболоиды.
. -это эллиптический параболоид.
Каноническое уравнение: 
(р>0, q>0).
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.
Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.
2. - гиперболический параболоид.
Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
65. Канонические поверхности.
Каноническое уравнение:
a = b - конус вращения (прямой круговой)
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
66. Функция. Основные понятия. Способы её задания.
Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y
называют значением функции.
1. Аналитический способ.
2. Графический способ.
3. Словесный способ.
4. Табличный способ.
Теорема сравнения.
в теории дифференциальных уравнений- теорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что некоторым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнении пли неравенств).
1) Теорема Ш т у р м а: любое нетривиальное решение уравнения обращается в нуль на отрезке не более т раз если этим свойством обладает уравнение и при.
2) Дифференциальное неравенство: решение задачи покомпонентно неотрицательно при если этим свойством обладает решение задачи и выполнены неравенства
Первый замечательны предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел 
называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство:
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0
. Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем 
. Разделим неравенство на 
>0, Получим 1< 
Так как 
, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 
.
А если x<0 => 
, где –x>0 => 
83. Второй замечательный предел.
Как известно, предел числовой последовательности 
, имеет предел равный e. 
. 1.Пусть 
. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: 
, где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому 
. Если , то 
. Поэтому: 
,
По признаку существования пределов: . 2. Пусть 
. Сделаем подстановку –x=t, тогда = 
. 
и 
называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция 
называется экспоненциональной, употребляется также обозначение 
.
Доказательство.
(с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда 
. Теорема доказана.
Теорема Коши
Теорема Коши:
Если функции f(x) и 
непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (a,b), причем 
для 
, то найдется хотя бы одна точка 
, такая, что выполняется равенство 
.
Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства.
Матрицей размера m на n называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей
Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей
Сложение матриц.
Свойства сложения:
· А + В = В + А.
· (А + В) + С = А + (В + С) .
· Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А
Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.
Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
Умножение матрицы на число.
Свойства умножения матрицы на число
· k(A + B) = kA + kB.
· (k + m)A = kA + mA.
Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.
Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С+В=А, т.е.С=А+(-1)В.
Перемножение матриц.
Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.
Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают
Обратная матрица.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ∆А=0, и невырожденной, если∆А≠0
Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается
Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
2. Определитель матрицы. Свойства определителей.
Определи́тель (или детермина́нт) - одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. (∆А)
Свойства определителей
· Определитель - кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. - строчки матрицы, - определитель такой матрицы.
· При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
· Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
· Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
· Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
· Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
· Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
· Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
· Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
· Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
· С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:
3. Миноры и алгебраические дополнения.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
4. Теорема замещения.
Суммы произведений произвольных чисел bi ,b2,...,b на алгебраические дополнения элементов любого столбца или строки матрицы порядка n равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки)числами b1,b2,...,bn.
5. Теорема аннулирования.
Сумма, произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.
6. Некоторые методы вычисления определителей.
Теорема (Лапласа). Определитель матрицы порядка N = сумме произведения всех миноров k-гопорядка которые можно составить из произвольно выбранных k параллельных рядов и алгебраических дополнений этих миноров
Теорема (о разложении определителя по элементам ряда). Определитель кв. матрицы=сумме произведений элементов некоторого ряда и алгебраических
дополнений этих элементов
7. Умножение матриц. Свойства умножения.
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы А m * n = (a i , g) на матрицу В n * p = (b i , k) называется матрица Сm*p = (с i , k) такая, что: ,
где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.
Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).
Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.
Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A T =A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).
Транспонирование матриц.
Транспонированная матрица
- матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров - матрица размеров , определённая как A
T [i
, j
] = A
[j
, i
].
Например,
и
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.
Пусть есть матрица А – невырожденная. 
А -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, где E –единичная матрица. A -1 имеет те же размеры, что и A.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
1. вместо каждого элемента матрицы а ij записываем его алгебраическое дополнение.
А* - союзная матрица.
2. транспонируем полученную союзную матрицу. А *Т
3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.
A -1 = A *Т
Теорема: (об аннулировании определителя):
сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.
10. Матричная запись системы линейных уравнений и её решения.
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы 
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .
11. Решение невырожденных линейных систем, формулы Крамера.
СЛАУ принято записывать в матричной форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.
Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:
А -1 = 
X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)
Теорема: (Крамера):
решение невырожденных уравнений АХ=В, 
можно записать так:
, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец свободного члена В.
12. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Максимальное число линейно-зависимых строк матрицы A наз. рангом матрицы и обозначr(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 назрангом матрицы .
Свойства:
1)при транспонировании rang=const.
2)если вычеркнуть нулевой ряд, то rang=const;
3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.
3)для вычисл ранга с помощью элементарпреобраз матрица AпреобразвматрицB, ранг которой легко находится.
4)ранг треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав.диагоналях.
Методы нахождения ранга матрицы:
1) метод окаймляющих миноров
2) метод элементарных преобразований
Метод окаймляющих миноров:
метод окаймляющих миноров позволяет алгоритмизировать процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.
1) если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0
2) если есть хоть один ненулевой элемент =>r(a)>0
теперь будем окаймлять минор М1, т.е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.
Процесс будет продолжаться до одного из событий:
1. размер минора достигнет числа к.
2. на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.
В обоих случаях величина ранга-матрицы будет равна порядку большего отличного от нуля минора.
Метод элементарных преобразований:
как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.
Например: 
ранг = 2.